10.7.1 自己家中
期末考试也终于告一段落。庆功宴当天的傍晚，大家都聚在了一起。
“打扰了。”米尔嘉说道。
“没事，欢迎欢迎。”我妈说道。
米尔嘉直勾勾地盯着我妈的脸。
“那个……有什么事吗？”
“您跟您儿子耳朵长得好像啊。”
“打……打打打打打扰了。”泰朵拉来了，样子很是紧张。
“外套挂在这边的衣架上哦。”我妈说道。
“我们这么多人来打扰您，真是不好意思。”盈盈说道。
“很期待你给我们表演钢琴哦！”我妈看起来很高兴。
“嗨～”尤里来了。
“没带男朋友来吗？”盈盈戏弄尤里。
“因为没必要。”
“来来，大家到客厅集合！披萨到了哟！”
我妈出来管事儿了。—— 话说什么时候决定吃披萨了？
“大家都拿到果汁了吧？来，干杯！”连出来宣布干杯的都是老妈，“期末考试考得怎么样？”
“喂，老妈—— 老妈！”
跟女生们说话说得不亦乐乎。咋说呢……
10.7.2 Zeta·变奏曲
“那我开始喽。”盈盈一下子坐在钢琴前。
一个音符响起。
又一个。
隔了好一阵子之后，盈盈开始慢慢地敲击键盘各处。
我以为她是试弹。
但我错了。
只见盈盈的双手在键盘上游移，速度越来越快。毫无秩序的音符间填上了其他的音符。一堆杂乱无章的音符中诞生了小小的图案，然后无数的图案开始交织，形成了更大的图案。
然后，就从离散走向了连续！
回过神来，我已经被抛向了广袤的大海。海浪，海浪，海浪，不停袭来的海浪。盈盈弹出的琴音翻涌着，卷起波浪，将我冲走。我在这激流的冲击下，完全失去了方向感，就在这一瞬间 ——
我站在了寂静的海岸边，仰望着夜空。夜空中无数的星辰就像与一个个微小的漩涡相互辉映般，闪耀着星光。对，似乎有规律，又好似没有……
“数星星的人和画星座的人。这两种人，哥哥你属于哪种？”
回过神来，盈盈的演奏不知何时已经结束了。
沉默。
三秒后，我拼命鼓掌，力气大得手都要痛了。
没想到我家的钢琴也能发出这么美妙的声音！
“真棒……太棒了！这是什么曲子？”泰朵拉问道。
“米尔嘉亲作曲，Zeta·变奏曲。”盈盈答道。
“Zeta 变奏曲……吗？”泰朵拉问道。
“对。”米尔嘉答道，“仿照在数学中普遍扩大的 Zeta，Zeta 变奏曲。不仅黎曼的 Zeta 函数是 Zeta，其实有许许多多的 Zeta 交织存在着。”
“这么说来，在讲谷山 - 志村定理的时候，学姐也提到过，是 Zeta 连接着两个世界吧。”泰朵拉说道。
“对。我简单说一下吧。用一个质数定义一个函数 ，这个质数对于椭圆曲线 E 形成好的归约。”
将积写成下面这样的形式幂级数。
用这个数列 a(k)，创造下面这样的 q 展开的形式。
这样一来，F (q) 就变成了权为 2 的自守形式。 则是连接椭圆曲线这个代数对象的 Zeta。 是连接自守形式这个解析对象的 Zeta。所有的椭圆曲线都存在与其对应的，通过 Zeta 连接的自守形式。这就是谷山 - 志村定理。
代数 Zeta ＝ 解析 Zeta
此外，我们看看欧拉乘积和黎曼的 Zeta 函数。在这边，“围绕质数的乘积”与“围绕自然数的和”相等。看，很像吧。
欧拉乘积 ＝ 黎曼的 Zeta 函数
“说像还真是像……不过两边都叫‘Zeta’，还真是‘不拘小节地同等看待’呢。”泰朵拉说道。
“哎，尤里。”我妈悄悄向尤里搭话，“这么难的东西你能听明白吗？”
“不，听不明白。”
“数学这东西，有什么用啊……”我妈叹了口气。
“虽然不知道有什么用，不过我喜欢数学！”尤里回答道。
◎ ◎ ◎
“最后一块我就收下了啊。”我伸手准备拿披萨。
“啊！”尤里叫道。
“嗯？你想吃？那给你吧。”
“好开心喵！”
“说起来，米尔嘉讲的基本勾股数的解法好有趣啊。”
“米尔嘉大人的解法？哥哥，那是什么样的问题？”
我向尤里简要说明了我跟米尔嘉是如何解开了“是否存在无数个基本勾股数”的问题。
10.7.3 生产的孤独
“能把灯光调暗点吗？”盈盈说着，开始用爵士风格演绎巴赫的曲子。她似乎想一直担任配背景音乐的工作。房间里弥漫着轻松的气氛。
“为什么怀尔斯会……”泰朵拉突然开口，“会觉得凭一人之力就能证明呢？一个人把自己关在书房里长达七年，肯定非常孤独吧。大家一起帮忙的话岂不是很快就能证明出来了吗？”
“他想一个人实现自己的梦想吧。”米尔嘉回答道，“但是就连怀尔斯也不是全部自己完成的。数学是一门积累的学问。不管怎样的天才，都不是由零开始创造所有的数学知识的。他们也要站在其他人无数的证明结果的基础之上。”
“孤独吗……”我喃喃道，“尤里经常说‘喜欢一起思考’。但是，即使通过相互讨论创造了‘一起思考’的环境，灵感也是从每个人脑海里产生的吧。”
咦？尤里去哪儿了……环视四周，发现她在房间角落里正写着什么。
“跟生孩子一样呢。”我妈端来了茶，“有深爱的丈夫在，也有医生在，但是要‘生产’的只有将要当妈的人。谁都没法代替母亲生产。对孩子来说，只有一个母亲。”
“孤独的人会写信。”米尔嘉说道，“孤独的数学家则写论文。为了传递给未来的某个人，写一封以论文为名的信。”
“如果写了，就不孤独了。”泰朵拉突然低声说，“即使不能马上被人收到，能以语言表达出来也很重要呢……”
“确实，如果山缪没有出版那本书，费马大定理也不会传递到我们这里。”
“历史，是奇迹堆积而成的。”泰朵拉说道。
10.7.4 尤里的灵感
“哥哥，哥哥！”尤里一直没说话，这时突然叫了起来，“我列出了一串平方数哦。”
“你到底在说什么？”
尤里清了清嗓子，开始讲道：
“刚才那个‘是否存在无数个基本勾股数’的问题。我列出了一串平方数，把每个数跟它旁边的数字相减。”
“这样一来，减法运算的结果就都是奇数了呢。”
“这叫作‘差分数列’。”我说道。
“尤里你真聪明。”米尔嘉说道。
米尔嘉在夸她什么啊？
“喵哈！米尔嘉大人已经看穿了吗？因为减法这里……叫作差分数列是吗？……会出现所有的奇数，所以也就会出现奇数的平方数对吧。打个比方，刚才我写的数列里出现了 9 这个奇数的平方数，因为 32 = 9，所以 9 是奇数的平方数。也就是说，如果平方数加上奇数的平方数，就会得到下一个平方数。这不就产生了无数个基本勾股数吗？”
“我啊，在这里发现了基本勾股数 (3, 4, 5)。不过这不是人家偶然发 现的哦！差分数列的部分会出现所有奇数的平方数。也就是说，会找到无数组 (a, b, c) 这样的数字。之后我就不知道该说什么了……”
这样啊，尤里是根据无数个“奇数的平方数”来构成无数个基本勾股数的啊。
“不够公式化。”米尔嘉说道，“这没表现出互质。不过尤里已经把重要的思路讲出来了。”
“米尔嘉大人……能麻烦您继续吗？”尤里问道。
“你把接力棒交给哥哥吧。”米尔嘉说道。
“好好。”我连忙应道，开始向大家说明。
◎ ◎ ◎
之后，要证明存在无数个基本勾股数。
首先，准备一个平方数的数列。
计算 可求出差分数列。
也就是这么回事。
刚才我们得到的 4k + 1 这个式子，只要随便用一个数字代替 k，就能形成奇数的平方数。我们要这么具体地去想： 即 b = 2j - 1。
也就是说，如果 k = j(j - 1)，那么 4k + 1 就是平方数。如果 j = 2，那么 k 就等于 2，此时 4k + 1 = 9 = 32。也就是说，j = 2 时可以得到 (a, b, c) = (3, 4, 5) 这组勾股数。
当 j = 3 时，k = 6，(a, b, c) = (12，5，13)。
当 j = 4 时，k = 12，(a, b, c) = (24，7，25)。
将 j 逐渐增大，就能创造出无数组勾股数。
接下来只要证明我们创造的勾股数是基本勾股数就行了。为此，需要证明 (a, b, c) 三个数两两互质。
因为 c = a + 1，所以 c ⊥ a……是吧。因为 c 和 a 这两个数字具有共同的质因数 p，所以 c - a 应该是 p 的倍数。又因为 c - a 等于 1，所以 c 和 a 互质。
然后要证明 b ⊥ c。假设 b 和 c 的最大公约数为 g，令 b = gB，c = gC。
根据最后得出的式子 a2 = g2(C2 - B2)，可知 a2 是 g2 的倍数。也就是说，a 是 g 的倍数。另外，因为 c ＝ g_C，所以 c 也是 _g 的倍数，即 g 是 a 和 c 的公约数。另一方面，因为 c ⊥ a，所以 a 和 c 的公约数 g 等于 1。
因为 b 和 c 的最大公约数 g 等于 1，所以可以得出结论：b ⊥ c。同理也可得出 a ⊥ b。
综上所述，可以创造无数个基本勾股数。
◎ ◎ ◎
“学长！这是个边长的差等于 1 的直角三角形啊！我之前一直在想，是不是能从这里着手……”
“确实。”可能只是我的研究方向跑偏了……
“我最喜欢聪明的孩子了。”米尔嘉说道，“尤里，过来一下。”
“什么？”尤里问道。
“慢着。”我拦住了尤里。
10.7.5 并非偶然
欣赏盈盈的琴声，大聊特聊，听着尤里的证明……即便没有酒，我也醉在这氛围之中了。于是我一个人去走廊“醒酒”。
呼……我倚在墙壁上，任由自己滑下来跌坐在地上。真是被尤里打败了啊。
之前我摆出一副老师的样子，教给她“基本勾股数的一般形式”和“用 t 参数化的方法”，可这次尤里靠自己思考，找出了属于自己的证明方法。而且泰朵拉还暗示过那条路。我是不是拖了泰朵拉的后腿？米尔嘉好像也说过我“不配当老师”来着。完了，感觉好失落……
泰朵拉从房间走了出来。
“学长，你怎么了？心情不好？”
她蹲在我面前，脸上写满了担心。从她身上飘来甜甜的香气。
“没什么，我自己在给自己开反省大会。”
泰朵拉一脸不解：“对了学长，那个‘M 的谜’你解开了吗？”
首字母 M 的谜。泰朵拉的挂饰。
“我认输了。只是少了爱……是吧。”
“是少了 i 的幅角。”泰朵拉看似很开心地说道，“那个挂饰不是 M，我是想把 M 逆时针旋转 90° 变成 。因为我超级喜欢数学，所以想要个 。不过因为没有，所以就用 M 代替了。”
“的确， 的挂饰哪儿都没有卖的呢。”
“希腊的话没准有卖呢。”
“那，不是某个人的名字的首字母啊……”imaginary boyfriend ？
“某个人……比如米尔嘉的 M ？”
“啊，不是……这么说来之前在图书室捉迷藏的时候，我还什么都没能说呢……”
我话刚说到一半，泰朵拉脸上突然染上了红晕，伸开双臂上下挥来挥去。是“停”的手势。我立马闭上了嘴。
“学长，你经常说相遇是个偶然对吧。不过……我能遇见学长不是偶然，是奇迹哦！”
泰朵拉满脸通红地留下这句话，就飞也似地跑回客厅了。
10.7.6 平安夜
“最后大家一起来唱首歌吧！”我妈宣布。
歌名是 —— 《平安夜》
今年马上就要落下帷幕了。虽然发生了很多事情，但比起整个数学史来说，我这一年微不足道。但对我来说，对我们来说，这是无法代替的一年。
曲终，鼓掌！大家脸颊都泛起了红潮。
“那，接下来……大家一起开始收拾！”我妈又宣布道，“公主们有我家骑士护送回家，不必担心！”我妈拍了拍我的肩膀。
“老妈……为啥这么独断专行？”
“跟你一模一样。”米尔嘉说道。