10.6.1 两个世界
该说到谷山 - 志村定理了。我们今天跑过了两个世界。在“椭圆曲线的世界”里，我们由椭圆曲线 y2 = x3 - x 创造了数列 s(p)。在“自守形式的世界”里，我们由自守形式 Φ(z) 创造了 F(q)，然后创造了数列 a(k)。谷山 - 志村定理认为这两个世界是对应的。
将两个数列 s(p) 和 s(p) 分别总结成表格的形式，如下所示。
关注质数，将两个表格合成一个表格，两个世界就会相连。
问题10-2 （在椭圆曲线和自守形式之间架起桥梁）
找出数列 s(p) 和数列 a(p) 之间的关系。
“诶？我好像明白了。”尤里说道。
“米尔嘉，我也明白了。”泰朵拉说道。
当然，我也马上就明白了。s(p) 是来源于椭圆函数的数列。a(p) 是来源于自守形式的数列。然而……为什么它们之间的关系会这么简单？
我也为这个事实震惊了 —— 椭圆曲线和自守形式竟然能拿来玩。居然能靠自己动手来尝试有限域和 q 展开的计算……不过是米尔嘉提出来让我算，我才算出来的……
“干什么呢？”米尔嘉问道，“尤里，快点回答。”
“啊，是。数列 s(p) 和数列 a(p) 之间有 s(p) + a(p) = p 的关系。不过……太不可思议了！”
解答10-2 （在椭圆曲线和自守形式之间架起桥梁）
数列 s(p) 和数列 a(p) 之间有着如下关系。
s(p) + a(p) = p
椭圆曲线和自守形式（旅行地图）
“椭圆曲线和自守形式的来源完全不同。”米尔嘉说道，“然而，它们在深处却有着联系。我们通过一个例子触碰到了这个联系，在椭圆曲线和自守形式之间架起了一座桥梁。关于所有的椭圆曲线都存在这样的对应关系。这就是谷山 - 志村定理。它在椭圆曲线和自守形式两个世界间架起了桥梁。这座连接两个世界的桥梁，是用 Zeta 构成的。”
“Zeta ？”我回应道。
“那个改天再讲。现在我想讲一下弗赖曲线。”
10.6.2 弗赖曲线
假设“费马大定理不成立”，就能构成某条椭圆曲线。弗赖注意到了这一点。这条椭圆曲线叫作弗赖曲线。
假设费马大定理不成立，则存在三个两两互质的自然数 a, b, c 以及大于等于 3 的质数 p，它们满足以下等式。
弗赖曲线就是用这两个自然数 a, b 构成的。
（弗赖曲线）
10.6.3 半稳定
“接下来，我们来确认弗赖曲线是半稳定的。下面我们把用于归约的质数表示为 。这是为了不跟弗赖曲线 中出现的 p 搞混。然后，椭圆曲线‘半稳定’指的是用质数 归约椭圆曲线时会出现‘好的归约’或者‘乘法归约’。换言之，在有限域 中 考虑椭圆曲线方程式 时会出现两种情况：要么 没有重根（好的归约），要么有重根，但只有二重根（乘法归约）。也就是没有三重根。”
米尔嘉在这里停顿了大约三秒钟。
“用质数 归约弗赖曲线的时候没有三重根。因为如果用质数 归约时出现三重根，那就意味着有三个解 。这三个解以质数 为模同余。以质数 为模就意味着 0 是 的倍数。也就是说，? 这两个数都必须是 的倍数。但因为 a ⊥ b，所以 a 和 b 没有共同的质因数。也就是说， 这两个数不能都是 的倍数。因此，弗赖曲线即使有重根，最多也只是二重根。弗赖曲线是半稳定的。”
“怀尔斯证明了‘每一条半稳定的椭圆曲线都可以对应一个模形式’这一定理。椭圆曲线对应模形式指的是这条椭圆曲线与自守形式中的一种形式 —— 模形式相对应。可以说‘怀尔斯定理’是连接半稳定的椭圆曲线和自守形式的桥梁。利用这个定理，就能将半稳定的弗赖曲线和自守形式相对应。自守形式中可以定义一个叫作 level 的数，根据赛尔和黎贝的研究，弗赖曲线与‘权为 2，level 为 2 的自守形式’相对应。然而，依据自守形式的理论，已经证明了‘不存在权为 2，level 为 2 的自守形式’。这就产生了矛盾。
总结一下就是这样：假设费马大定理不成立，就可以造出弗赖曲线。这讲的是‘椭圆曲线的世界’。紧握弗赖曲线这张入场券，走过怀尔斯定理这座桥，前往‘自守形式的世界’。在那里应该存在着与弗赖曲线相对应的自守形式。然而，在那边迎接我们的只有‘不存在那样的自守形式’这个事实。这也就意味着，最初的假设 —— ‘费马大定理不成立’是错的。”
泰朵拉唰地举起手。
“我提个可能很奇怪的问题……为什么‘不存在权为 2，level 为 2 的自守形式’呢？”泰朵拉问道。
“你问的非常对。”米尔嘉答道，“不过……还不能马上给你解释。接下来要是缠起阿里阿德涅之线 2，就能以椭圆曲线和自守形式为开端，深入探索数学的森林。什么时候我们一起去吧。”
2英雄忒修斯在克里特公主阿里阿德涅的帮助下，用一个线团破解了迷宫，杀死了怪物弥诺陶洛斯。这个线团称为阿里阿德涅之线，是忒修斯在迷宫中的生命之线。——译者注
米尔嘉面对我们展开双臂。
简直就像天使的羽翼一般。
◎ ◎ ◎
“不好意思，我们该关门了。”咖啡店的服务生来到我们桌前。回过神来，店里只剩下我们四个人。桌子上四处散落着笔记用纸。
“差不多该回去了吧。”我说道。
“米尔嘉，非常感谢！”泰朵拉行了一礼。
“好有趣啊。米尔嘉大人。”尤里说道。
“真的太神奇了。”我也表示赞同。
“喔……是吗？”米尔嘉一下子看向了别处。
“下次再见米尔嘉大人，该是庆功宴了吧……好期待喵！”
“下个周六。”我说道。
“在期末考试的庆功宴以前，别忘了还有期末考试这回事哟！”
泰朵拉举起双手说道。