10.5.1 保护形式
吃完巧克力慕斯以后，泰朵拉开始讲自守形式。
“下面这个函数 Φ(z) 有着非常有意思的性质。
在此，参数 z 暗示了复数……尤里，怎么了？”
“米尔嘉大人……这个数学公式，我一点都看不懂。”
“让哥哥来帮你简单解释一下吧。”米尔嘉看向我。
“这个……”突然把问题扔给我吗，“我说尤里，看见这么复杂的数学公式，可不能想着‘我一点都不明白’啊。”
“我没觉得‘一点都不明白’啊，哥哥。嗯……这个像牌坊一样的符号是什么啊。”
“不是牌坊，是 （π 的大写），这是表示乘法的符号。下面写着 k = 1，上面写着 ∞。意思是把变量 k 替换成 1, 2, 3, ... ，再乘以 右边写着的所有因子。明白吗？”
“不明白。给人家具体讲讲嘛！”尤里嘟起嘴。
“我们来试试不用 把米尔嘉写的 Φ(z) 表示出来。它会变成无限乘积的形式。”
“ 的意思我倒是明白了……不过太复杂了喵！”尤里说道。
“所以都说了！为了简写才用 来表示的！”我说道。
“Φ(z) 是自守形式的一种，尤其是模形式的伙伴。”米尔嘉说道，“a, b, c, d 是整数，满足 ad - bc = 1，且 c 是 32 的倍数，再基于 z = u + ν_i，ν_ > 0 这个条件……可知以下等式成立。”
“自守……形式？”尤里重复道。
“保护形式。由 这个式子，可知‘经由 Φ 来看，z 和 形式相同’。即使发生了 这种变换，也保持了原有的形式，所以叫作自守形式。话虽这么说，也有 (cz + d)2 这种程度的偏差。(cz + d)2 的指数 2 称为权。Φ(z) 是‘权为 2 的自守形式’。到这里听明白了吗？”
“完全……没办法想象。”泰朵拉抱着头。
“喔……那我举个简单的例子吧。因为‘a, b, c, d 是整数，满足 ad - bc = 1，且 c 是 32 的倍数’，所以我们打个比方，假设 ，这样一来……
也就是说，z + 1 和 z 经由 Φ 可以同等看待。换言之，实轴方向构成了周期为 1 的函数。”
“虽然不太明白……但能够感觉出确实是这样。”泰朵拉答道。
“再复杂一点的话，人家脑袋就要爆炸了喵。”尤里说道。
“好吧，接下来我把 Φ(z) 变简单点。”
米尔嘉微笑着把手放在尤里的头上。
10.5.2 q 展开
“好好看看函数 Φ(z) 的定义方程式。”米尔嘉继续往下讲。
“在这里你们应该注意到了吧，这个式子里镶嵌了无数个 e2πiz。因此，我们像下面这样定义一个字母 q。
q = e2πiz (q 的定义)
此时，可以用 q 表示 Φ(z)。这就交给泰朵拉来吧。”
“诶？让我来吗？”泰朵拉先是表示吃惊，然后想了一会儿说道，“对了，指数运算法则……是这样吗？”
“式子变形不难。用的只有指数运算法则而已。”
“好的。”米尔嘉说道，“像这样，用 q = e2πiz 来表示这个式子，就叫作 q 展开。从现在开始，我们只关注 q。”
10.5.3 从 F(q) 到数列 a(k)
“为了忘记 Φ(z)，只关注 q，我们给它换个名字，叫作 F(q)。”
“F(q) 全体都 是‘积的形式’。现在我想把 F(q) 变成‘和的形式’。尤里，把积的形式转化成和的形式叫什么来着？”
“我不知……啊，难不成叫作展开？”
“对。我们找个人来把 F(q) 展开。数学公式狂热分子 —— 哥哥就很合适嘛。”
“等等，F(q) 可是无限积啊……”我说道。
“只要从 q1 到 q29 的系数都正确就行了。超过 30 次方的项就无视掉，函数的收敛我们也无视掉。作为形式幂级数来计算。”
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在三个女生目不转睛的注视下，我开始展开数学公式。真让人紧张啊……一瞬间我想找些简便算法，但还是决定就这么硬算下去。因为算到 q29 就够了，超过 30 次方的项在计算途中无视掉就好了。那么就把超过 30 次方的项省略，写作 Q30 吧。
当 k = 1 时，将因子移到 的前面。
展开 2 次方的部分。
将 q 乘到括号内。
将最前面的两个因式相乘。
呼……我做了个深呼吸，继续往下计算。
因为 只会产生超过 30 次方的项，所以 k = 8 之后就不用展开了。
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“做完了。这样就行了吧？”我问道。
“好的。”米尔嘉点点头，“我们将 qk 的系数称为 a(k)，将 F(q) 看作数列 a(k) 的生成函数。把系数明确写出来……
把这个总结成表格。
可以从数列 a(k) 还原 F(q)。也就是说，数列 a(k) 像含有遗传因子般含有关于 F(q) 的信息。接下来终于该说到将椭圆函数和自守形式世界连接起来的‘谷山 - 志村定理’了。”