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《数学女孩2:费马大定理》10.4 椭圆曲线的世界

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10.4.1 什么是椭圆曲线

我们从食堂转移到了二楼的咖啡店,找了张能坐下四个人的大桌子,大家一起喝着咖啡(只有尤里喝着可可),继续刚才的话题。

“尤里,你还想回去吗?”米尔嘉问道。

“我在听,不管听得懂,还是听不懂。”

“好,那么我先从定义开始讲起。椭圆曲线指的是……”

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椭圆曲线指的是当 a, b, c 为有理数时,可用以下方程式表示的曲线。

y2 = x3 + ax2 + bx + c

但存在以下附加条件。

三次方程 x3 + ax2 + bx + c = 0 没有重根。

这是椭圆曲线的定义,严格来说是‘有理数域 上的’椭圆曲线的定义。也就是说,我们将 x, y 考虑成有理数域 的元素。

打个比方,以下式子是椭圆曲线的方程式。

y2 = x3 - x  椭圆曲线的方程式的例子

在这里我们把方程式 y2 = x3 + ax2 + bx + c 中的 (a, b, c) 替换成了 (0, -1, 0)。右边的 x3 - x 可以分解成如下形式。

x3 - x = (x - 0)(x - 1)(x + 1)

因为三次方程 x3 - x = 0 的解有三个,分别是 x = 0, 1, -1,且没有重根,所以满足椭圆曲线的条件。我们来画个图。

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“左边圆圆的那个,是椭圆吗?”泰朵拉问道。

“不是。”米尔嘉答道,“‘椭圆曲线’含有‘椭圆’这个词,是有历史渊源的。椭圆曲线的形状和椭圆没有关系。”

10.4.2 从有理数域到有限域

接下来,我们从代数角度研究椭圆曲线 y2 = x3 - x

我来简单说明一下数学都有哪些领域。

  • 代数关注的是方程式和方程式的解,以及群、环、域等。

  • 几何关注的是点、线、平面、立体、相交、相切等。

  • 分析关注的是极限、微分、导函数、积分等。

当然,这些是相互关联的。例如,方程式里的“重根”虽然是代数概念,但却跟曲线‘相切’的几何概念,“导函数”值为 0 的分析概念相关。

幸好我们只是体验一下谷山 - 志村定理的气氛,用不着大型武器。需要的只有余项、毅力、想象力。

我们刚刚为了把握椭圆曲线 y2 = x3 - x 的样子,将三次方程 x3 - x 进行了因式分解,解了三次方程式 x3 - x = 0,并得到了 (0, 0), (1, 0), (-1, 0) 这三个有理点。

存在一个有理数域 ,也就是存在有限个有理数域。但有理数域的元素数量是无限的。也就是说,有理数是无限的。

在这里,我们逆转一下思维,即想出无限个具有有限个元素的域。我们知道这样的域,它就是有限域。有限域 有 p 个元素,也就是有限个元素。但质数 p 却有无数个,所以存在无数个 。

接下来,我们要从“有理数域 的世界”空间传送到“有限域 的世界”了哦。

我们从有限域 中找一个满足椭圆曲线方程式的点 (x, y)。

换言之,就等于把椭圆曲线方程式看作以下这个同余式。

关于有限域,我们简单复习一下。有限域 是含有 p 个元素的集合,用 mod p 进行加减乘除运算的域。

为了保证 0 以外的元素可以进行除法运算,p 为质数。如下所示,有限域 有无数个。

虽然域的数量是无限的,但不要忘记每个域的元素数量是有限的。

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“为什么‘有限个’这么重要呢?”泰朵拉问道。

“因为能逐个击破。”米尔嘉马上回答,“有限域 只含有 p 个元素,所以我们可以把这 p 个元素代入 xy 中来进行调查。只要质数 p 不大,我们就可以动手计算,一点一点地去找寻满足椭圆方程式的点 (x, y)。”

“这需要毅力喵!”尤里叫道。

“对。”米尔嘉点头,“有限域 是微型的有理数域 。最适合拿来玩了。那么,我们来逐个击破吧。”

10.4.3 有限域 F2

最简单的有限域 ,其运算表如下。因为是域,所以有加法和乘法。我们在进行一般计算后,求除以 2 的余数(余项)。

(x, y) 可能出现以下 4 种组合。

(x, y)=(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)

我们把这 4 种情况都代入到方程式 y2 + x = x3 中,看等号是否成立。但在加减乘除的运算中则使用上述运算表。减法的话我们只要加上加法中的逆元就行了,不过太麻烦了,所以我们就将 x 移项,用以下形式来验证。

y2 + x = x3  (将 x 移项到等式左边,消去减法)

例如,当 (x,y) = (0,0) 时,将其代入 y2 + x = x3,则得到 02 + 0 = 03。用运算表计算的话,左边等于 0,右边也等于 0。因为左边和右边相等,所以 上的点 (0,0) 满足方程 y2 = x3 - x。同理,我们来试着验证其他几组 (x,y)。

这样一来,我们可知方程式 y2 = x3 - x 在 上的解为以下两个。

(x, y) = (0, 0), (1, 0)

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“米尔嘉大人!在空间传送后,没有重根的条件……”

“尤里,你真聪明。”米尔嘉回应道。

“原来如此!”我突然明白了。尤里真厉害啊。

“你们发现了什么啊?”泰朵拉一脸困惑。

“尤里。”米尔嘉催促尤里开口。

“嗯。在传送之前,椭圆曲线有 x3 + ax2 + bx + c = 0 不存在重根这个条件。但是我觉得……在传送之后,不用在有限域的世界把这个条件再研究一遍喵?”

“尤里说得对。”米尔嘉说道,“在有限域中考虑椭圆曲线的时候,应该重新审查一次条件。因为掉落到微型世界的时候,椭圆曲线可能已经不包含这个条件了。”

尤里绝不放过任何一个条件。真是这样啊。

“事实上 是什么情况?”我问道。

“在 上,y2 = x3 - x 不构成椭圆曲线。因为 x3 - x 可以像下面这样进行因式分解。平方因子 (x - 1)2 有重根。”

x3 - x = (x - 0)(x - 1)2  在 上的因式分解

“这个因式分解是对的吗?”泰朵拉问道。

“是对的。想想有理数域上的因式分解——

x3 - x = (x - 0)(x - 1)(x + 1)  在 上的因式分解

在 上,1 是自身加法中的逆元,所以‘加 1’就等于‘减 1’。也就是说,x + 1 可以换成 x - 1。”

“我明白了,重要的是在哪个域上进行运算吧。”泰朵拉似乎也理解了。

10.4.4 有限域

“这次我们举有限域 的例子。运算表如下。

(x, y) 一共有 9 种情况。我们把这 9 种情况都代入到方程式 y2 + x = x3 中,看等号是否成立。”

“这样一来,我们可知方程式 y2 = x3 - x 在 上的解为以下 3 个。”

(x, y) = (0, 0), (1, 0), (2, 0)

“米尔嘉大人,在 上还构成椭圆曲线吗?”

“是。在方程式 y2 = x3 - x 的情况下,只有在 的情况下掉落到有限域的时候才不构成椭圆曲线。说明我就省了。”

“掉落到有限域……是吗?”泰朵拉很在意用词,追问道。

“正确来说叫归约。将有理数域上的椭圆曲线移到有限域,称为归约。如果于质数 p 归约椭圆曲线都不会产生重根,那么这种情况就叫作‘于 p 有好的归约’,如果产生了重根,就叫 作‘于 p 有坏的归约’。椭圆曲线 y2 = x3 - x 于 2 有坏的归约。因为它在 上有重根。”

“‘归约’吗……感觉像化学术语 1 呢。”泰朵拉说道。

1“归约”的日语为“還元”,日语化学中也使用这个词,意思是还原。—— 译者注

“坏的归约也分好几种。于 p 归约的时候,如果重根停留在二重根的范围内,就把这条椭圆曲线称为‘于 p 有乘法归约’,如果有三重根,则称为‘于 p 有加法归约’。”

“好复杂喵。”

“然后,不管于什么质数归约,只存在‘好的归约’和‘坏的归约’这两种情况时,我们就将这条椭圆曲线称为半稳定的椭圆曲线。”

“诶?!”我提高了嗓门,“这就是怀尔斯证明了的那个……”

“对。这就是怀尔斯定理‘每一条半稳定的椭圆曲线都可以对应一个模形式’中出现的‘半稳定’的定义。半稳定的椭圆曲线指的就是不管于任何质数归约,重根数量都只停留在二重根的椭圆曲线。”

10.4.5 有限域

有限域 的运算表如下。

这次我们来一个个确认 (x, y) 的 25 种情况。

这样一来,我们就可以知道方程式 y2 = x3 - x 在 上的解为以下 7 个。

(x, y)=(0, 0), (1, 0), (4, 0), (2, 1), (3, 2), (3, 3), (2, 4)

10.4.6 点的个数

“差不多该想要自己来计算了吧。我们把方程式 y2 = x3 - x 在有限域 中解的个数用 s(p) 来表示。

s(p) =(方程式 y2 = x3 - x 在有限域 中解的个数)

我们已经研究完了 s(2), s(3), s(5)。我想请人来填下面这个表格。

我们来分工合作吧。尤里负责 和 ,泰朵拉负责 和 ,然后你负责 和 。”米尔嘉对我说道。

“米尔嘉大人呢?”尤里问道。

“我睡个午觉。你们填好了叫我。”米尔嘉说着闭上了眼。

我们三个人默默地算起了有限域。求在有限域 中有几个满足椭圆曲线 y2 = x3 - x 的点。

p 越大越费工夫,不过计算本身并没有那么困难。我在计算的间隙中偷瞄了一眼米尔嘉。

米尔嘉闭着眼睛,轻轻靠在椅背上。仔细一看,她已经安静地睡着了。这位黑发才女,还真的睡着了啊……

泰朵拉在旁边戳了戳我。

“学长,你怎么停下来了。”

在求完点的个数以后,我们互相检查了各自负责的部分。我有一个计算错误,泰朵拉有三个,尤里则是零个。

“尤里真厉害啊……”泰朵拉感叹道。

“喵哈哈~”

“那,我们该叫醒女王大人了吧。”

10.4.7 棱柱

“数列 s(p) 的表填好了。”米尔嘉醒来后马上接着往下讲。

“我们略微涉足了椭圆曲线的世界。以 y2 = x3 - x 这条椭圆曲线为例,数了数这条椭圆曲线在有限体 中解的个数。”

s(p) 有什么含义吗?”泰朵拉举起手。

“我感觉有点像质数喵。”

“这个数列 s(p) 体现了椭圆曲线 y2 = x3 - x 的一个侧面。使用无数的有限域,就可以从各种各样的角度来看椭圆曲线。”

“好像棱镜啊!”泰朵拉说道,“阳光透过棱镜会被分解成无数种颜色的光,把所有的光重合在一起又会还原成本来的阳光。感觉跟这个很像不是吗?有理数域 是阳光,有限域 表示每个质数 p 的颜色……”

“这比喻相当不错。”米尔嘉说道,“关于‘椭圆曲线的世界’我们就先谈到这里,吃完巧克力慕斯后,接下来我们就该前往‘自守形式的世界’了。”

“巧克力慕斯?”

“现在尤里正过去买呢。”尤里从米尔嘉那接了钱,摇晃着马尾辫跑到了甜点区。