6.3.1 交换律
第二天我们也去了病房。
米尔嘉迎接我和泰朵拉的第一句话是 ——
“关于任意元都满足交换律的群，称为阿贝尔群。”
交换律
“咦？”泰朵拉诧异地说，“不是说结合律和交换律是一回事吗？”
“结合律说的就是可以改变计算顺序吧？如果是这样的话，就用不着交换律了吧？”
“错了。”米尔嘉说道，“好好看看，结合律中虽然交换了计算的顺序，却没有交换 ★ 号左右的字母。整数、有理数、实数的加法运算都是阿贝尔群，也就是说满足交换律的群。所以很难想象不满足交换律的情况。”
“差的运算……减法呢？”我说。
“确实差的运算符不满足交换律。因为 a - b = b - a 并不一定成立。但是差的运算符也不满足结合律。”
“啊，对啊。不适合拿来当群的例子。那么，矩阵呢？”
“嗯。高中数学中‘矩阵的乘积’正是不满足交换律的典型例子。”米尔嘉说道。
“昨天……我考虑了元素个数为 2 的群。”泰朵拉说道，“我认为那个群是满足交换律的……对吗？”
“为什么这么想啊？泰朵拉？”
“这个……因为 e a = a e 啊？”
“喔，嗯，泰朵拉说的对，那个群满足交换律。也就是说，刚才泰朵拉证明了‘元素个数为 2 的群是阿贝尔群’这个定理。”
“阿贝尔群……”
阿贝尔群的定义（阿贝尔群的公理）
我们将满足以下公理的集合 G 称为阿贝尔群。
关于运算 是闭集。
对于任意的元，都满足结合律。
存在单位元。
对于任意的元，都有与其相对应的逆元。
对于任意的元，都满足交换律。
（阿贝尔群与普通群的区别在于是否满足交换律）
6.3.2 正多边形
米尔嘉饶有兴致地往下讲着。
◎ ◎ ◎
提到“元素个数为 2 的群”，我想起来了。
集合 {-1, +1} 关于一般的乘法构成群。
对了，x = -1, +1 是方程式
x2 = 1
的解。方程式的解构成群。方程式的解属于制约的一种，而这个制约恰好创造了群。如果 x2 = 1 还不足以充分说明问题，我们就提高次数看看，换成三次方程。
x3 = 1
这个方程的解是 1 的立方根，有三个，分别如下所示。
这里的
事实上，{1, ω, ω2} 关于乘法构成了阿贝尔群，因为 x = ω 是 x3 = 1 的解，所以我们将其简化为 ω3 = 1，运算表如下。
保留指数应该更方便看吧，这样就容易确认是否满足阿贝尔群的公理了。
跑题了，一般将 n 次方程式 xn = 1 的 n 个解构成的集合记作下面这样。
这个集合构成关于乘法运算的阿贝尔群。——是不是太抽象了不容易明白？
那我们就从复平面上的几何角度来看。因为单位圆上的复数的绝对值为 1，所以积是“幅角的和”。也就是说，要考虑 1 的 n 次根，只要考虑将单位圆的圆周 n 等分的点就可以了。
n = 1 时，{1} 和只由单位元构成的群同构。
n = 2 时，{1, -1} 和由两个元组成的群同构。
n = 3 时，{1, ω, ω2} 对应正三角形的顶点。
n = 4 时，{1, i, -1, -i} 对应正方形的顶点。
因为是幅角 360° = 2π 的 n 等分，所以 xn = 1 的解为 k = 0, 1, ..., n - 1，可用以下形式表述。
从方程式的角度来看，我们熟悉的正 n 边形的顶点 是“1 的 n 次根的解”，从群的角度来看则变成了“元素个数为 n 个的阿贝尔群的例子”。单位圆上的舞蹈真是有趣啊。
6.3.3 数学文章的解释
“泰朵拉，玩弄了这么半天群，你应该明白这句话的含义了吧？”
米尔嘉说着闭上眼，唱起歌来。
椭圆曲线中
有着作为
阿贝尔群的结构
“嗯？如何？”米尔嘉张开眼问道。
“我，我也能明白吗……”泰朵拉不安地回答道。
“先试着想想。”米尔嘉说，“明不明白，不想怎么会知道呢。不能因为‘椭圆曲线’和‘阿贝尔群’听上去很难就怕了它们。它们等你几百年了，就算不能马上明白也不要怕。要从正面直面它们。”
泰朵拉陷入深思，一脸认真。沉默了一会儿，慢慢开口道：
“我……我不知道‘椭圆曲线’，不过‘有着作为阿贝尔群的结构’我觉得我还是明白的……不，我明白。阿贝尔群指的是满足交换律的群。这就是阿贝尔群的定义。我知道交换律，也学过群的公理，所以我知道阿贝尔群的定义。这个嘛，椭圆曲线指的应该是某种集合，由它出发应该也可以定义某种运算。因为……”
“群的定义是……”我开口。
“学长！等一下再说，我就要想出来了！群指的是在集合上定义了某种运算。如果说‘椭圆曲线中有着作为阿贝尔群的结构’，那么运算就应该定义在椭圆曲线这个集合上，且满足阿贝尔群的公理。也就是说……运算是闭集，满足结合律，也有单位元，所有元素都存在与其对应的逆元……然后，嗯，应该也满足交换律。”
米尔嘉满意地点了点头。
我惊呆了！泰朵拉吃透了定义。这样啊，即使不知道椭圆曲线这个用语，只要以已经知道的阿贝尔群为线索，还是可以努力向前进发的……
泰朵拉似乎注意到了什么，两手遮住了嘴。
“啊！想把作为群的构造的东西放进椭圆曲线中的，一定是研究椭圆曲线的人。这样一来，也许能以阿贝尔群的结构为线索来研究椭圆曲线……”
然后，米尔嘉打断了泰朵拉的话。
“泰朵拉，泰朵拉，你到底是何人？”
“神马？”
“你的理解速度把我吓了一跳。泰朵拉，过来一下。”
米尔嘉招手。
“什么事？”泰朵拉听话地凑到床边。
米尔嘉用右手臂跐溜一下缠紧了她，然后 ——
在泰朵拉脸颊上，亲了一口。
“呀啊！米米米米米尔嘉！！”
“我最喜欢聪明的孩子了。”米尔嘉调皮地吐了吐舌头。
6.3.4 辩群公理
谈话告一段落，泰朵拉又倒了杯茶。米尔嘉想把头发重新扎一下，却费了好半天劲，可能是因为左手臂疼吧。
“用我帮忙吗？”泰朵拉问道。
“唔……那，麻烦你了。”
“编辫子行吗？”
“随便。”
泰朵拉高兴地给米尔嘉编起了辫子，真难得看到米尔嘉梳辫子。
“数学领域里存在辫子吗？”泰朵拉问道。
“公理方面没有矛盾就存在。”米尔嘉马上答道。
“‘辫群公理’是吧。”
到底是什么公理啊，我内心忍不住吐槽。
“无矛盾性是存在的基石。”米尔嘉说道。
“好，编完了。小时候我也留过长头发，早上总是妈妈给我编辫子，好怀念那个时候，妈妈在我身后编着辫子给我唱《Greensleeves》。”
“听上去简直就像女孩子的事儿。”我忍不住调侃道。
“人家本来就是女孩子！而且尤里也是女孩子啊，之前还……”泰朵拉反驳道。
“尤里？”为什么突然提到尤里？
“啊，没……我怎么就管不住这张嘴呢！唉……”
泰朵拉揪了一下自己的脸颊。
“难不成是‘四亲等旁系血亲’的事儿？”我问道。
“诶？咦？学长？”
“尤里告诉我了。尤里就相当于我妹妹……”
“啊，是……是吗？这个……咦？这么说来，学姐也有兄弟姐妹吗？”
“有个哥哥。”米尔嘉看着自己的发梢。
“诶？！”我跟泰朵拉忍不住提高了嗓门。
米尔嘉有哥哥？我从没听说过。
“不过，哥哥他在我小学三年级的时候就……死了。”
一行清泪从米尔嘉脸上滑过。
她没有擦拭。
而是闭上了眼。
又一行清泪。
“米尔嘉……”泰朵拉立即拿出手帕给她擦眼泪。
“明天我就出院了，你们可以不用过来。”米尔嘉说道。