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《数学女孩2:费马大定理》5.4 可以粉碎的质数

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第二天。

放学后的教室,只剩下我和米尔嘉。

“你可爱的妹妹还好吧?”

米尔嘉轻轻用手指撩起垂散在额头前的刘海,问道。

“诶?啊,你说尤里?她挺好的,脚已经没事了。”

“你直接叫她名字啊。”

“嗯,因为从小就在一起。”

“尤里跟你长得很像嘛。”米尔嘉说。

“是吗……差不多吧,因为是亲戚嘛。”

“抗打击能力也很强。”

“她被你突然给了一句,犹如醍醐灌顶,很高兴。”

“这边也很像。”

米尔嘉伸出右手,触碰我的左耳。

“干,干什么?!”我吓了一跳,身子直往后缩。

“耳朵形状很像,你跟尤里。”

“是,是吗……”我怎么会记得耳朵的形状啊。

“拐点的位置。”

“啊?”

“尤里的耳朵,这里也有一个拐点。”

米尔嘉摸着我的耳朵。

“啊……?”

“怎么脸红了?”米尔嘉歪着头看我。

“我才没脸红呢!”

“你还能知道自己脸是什么颜色啊,真有才。”

“因为你眼镜里照出我的脸了。”

“喔……能看见啊。”

“能看见,你看……”我凑上去,盯着自己在米尔嘉眼镜里的影子,“这里……就能看见。”

“你的眼镜也把我照出来了。”米尔嘉说。

一句话让我意识到,我无意之间贴她太近了。

米尔嘉伸出双手,抓住我两只耳朵。

她就这么把我拉了过去……

“学长,大发现大发现!”活力四射的少女伴着她那惯有的大嗓门登场了。

米尔嘉迅速放开手,我险些向后跌倒。

泰朵拉看我们没在图书室,就过来找我们了。

“我 把‘两个数的平方差等于两数之和乘以两数之差’用在复数上,发现了不得了的事!能把质数因数分解!”

泰朵拉高高挥动着手里的笔记本。

“打个比方,我试着把 2 分解成 1 + 1 这样的形式,做了这样的变形。”

“也就是说,存在以下等式!”

2 = (1 + i)(1 - i)

“这样,就把质数 2 因数分解了!”

啊……我总算明白她想说什么了。

“我说,泰朵拉……计算本身是正确的,但是你把 2 分解成了复数的积,并不是整数的积。”

“但是……”泰朵拉把目光投到笔记本上。

“我知道你喜欢因数分解,但是这样根本说不过去啊!——啊,好疼!”

“不配当老师。”米尔嘉说。

“我又不是老师!”而且也不至于踹我啊。

“展开思 路。”米尔嘉无视了 我,继续说 道,“确实泰朵拉的等式 2 = (1 + i)(1 - i) 没把质数分解成整数的积的形 式,但是把 1 + i 和 1 - i 看成整数的一种又如何呢?事实上,当 a, b 为整数时,复数 a + b i 称为高斯整数。1 + i, 1 - i, 3 + 2i, -4 + 8i 这样的都是高斯整数。当然高斯整数也包括 a + b i 中 b = 0 的情况,也就是说高斯整数包含普通的整数。全体整数的集合写作 ,全体高斯整数的集合写作 ,这个表示方法,象征 i 缠绕着 。”

整数 和高斯整数

假设 a, b 为整数,则我们把 a + b i 称为高斯整数。

 全体整数的集合

   全体高斯整数的集合

当 , 时,我们用 表示全体 a + b i 形式的数字集合。

“就像取整数时取数轴上分散的值一样,取高斯整数时也要取复平面上分散的值。整数是一维空间,高斯整数是二维空间。”

“米尔嘉,这是格点吧!”泰朵拉叫道。

“没错。高斯整数对应复平面上的格点。泰朵拉你刚刚用 2 = (1 + i) (1 - i) 表示的就是

在整数 Z 中是质数,          

但在高斯整数 中不能成为质数的数字。

2 这个数字在整数 Z 里是质数,可是在高斯整数 里就不是质数,因为它能分解成积的形式。”

“就像是不应该坏掉的原子坏掉了吗……”我说。

“这比喻挺浪漫的嘛。”米尔嘉冷冷地回了我一句。

“我们的质数,在高斯整数 里,全部都能被因数分解呢……”

“谁说‘全部’的?”

“啊?不……不对吗?”泰朵拉慌了。

“不对。我们的整数 里包含两种质数。一种拿到高斯整数 里能分解成积的形式,可以说是‘可以粉碎的质数’。打比方说,把 2 拿到 的世界里进行分解,就得到 (1 + i)(1 - i)。而另一种质数即使拿到高斯整数 里,也不能分解成积的形式,这就是‘无法粉碎的质数’。比如 3,即使把它拿到 里也无法将其粉碎。3 即使在 里也还是质数。但是要注意一下,可以粉碎和无法粉碎不是正式的数学用语。±1 既不是合数也不是质数,它叫作单数。”

原来如此,“可以粉碎的质数”和“无法粉碎的质数”……米尔嘉这不 也用了个浪漫的比喻吗。

米尔嘉扫视了一下我们的表情,缓缓地转过去,面向黑板。我跟泰朵拉简直像中了邪一样跟着她。

米尔嘉拿过一支粉笔,静静地闭上眼……三秒钟。

“从现在开始,来把我们的质数一个个粉碎,试试能不能看穿有哪些情况属于‘无法粉碎的质数’。”

米尔嘉开始在黑板上写起了数学公式。

“还看不太出来。我们把质数列中‘无法粉碎的质数’圈出来。”

“这样也看不出来。我们干脆不用质数列,而是用全体整数列来看看。把从 2 到 17 的所有整数中‘无法粉碎的质数’画上圈,就能看出些端倪了。”

“再替换成表的形式,就能清楚地看出都有哪些情况了。”

“这之后会怎么样呢?我非常,非常想知道!”泰朵拉看着米尔嘉,激动得脸都泛起了红潮。

“确实很令人感兴趣。那么,我们按顺序来粉碎比 17 大的质数。”米尔嘉继续写下数学公式,粉笔敲击黑板的声音也高昂了许多。

“来,我们把这些结果做成表的形式。质数以外的数字我们用 . 来代替。”

“!”我吃了一惊。真令人惊讶。画圈的数字整齐地排列在右端。因为表的每行包含 4 个数字……所以右端的是“除以 4 后余数为 3 的质数”。

画圈的是“无法粉碎的质数”。也就是说,“可以粉碎的质数”,即能用 (a + b i)(a - b i) 的形式表示的质数除以 4 后,余数为 3,不是吗?除以 4 之后的余数有什么特别的含义吗?

问题5-3 (可以粉碎的质数)

质数 p 和整数 a, b 具有以下关系。证明 p 除以 4 余数不为 3。

p = (a + b i)(a - b i)

“要证明这个太简单了。”米尔嘉说。

把整数根据除以 4 的余数进行分类,整数除以 4 的余数无非就是 0, 1, 2, 3 中的一个。换言之,所有的整数都包含在下列式子之中(其中 q 为整数)。

将这些式子平方,再提出 4。

也就是说,用平方数除以 4 的余数只能是 0 或者 1。因此,两个平方数的和 a2 + b2 除以 4 的余数只能是 0 + 0 = 0、0 + 1 = 1 或者 1 + 1 = 2 中的一个。

因此,(a + b i)(a - b i) = a2 + b2 除以 4 的余数不会是 3。

解答5-3 (可以粉碎的质数)

1. 平方数 a2 除以 4 的余数不是 0 就是 1。

2. 平方数 b2 除以 4 的余数也不是 0 就是 1。

3. 两个平方数的和 a2 + b2 除以 4 的余数是 0, 1, 2 中的一个。

4. 因此,a2 + b2 = (a + b i)(a - b i) = p 除以 4 的余数不会是 3。

“综上所述,可以粉碎的质数除以 4 余数不是 3。实际上,若把 p 作为奇质数,则存在以下关系。

除以 4 余数为 1

这么说来,以前我还出过找不同的题呢。239, 251, 257, 263, 271, 283 这些数字中,不同的是 257。只有这个数是‘可以粉碎的质数’,因为只有 257 这个质数除以 4 余数为 1。”

“除以 4 余数为 3 的质数,不仅不能因数分解为 (a + b i)(a - b i) 的形式,也无法分解为其他任何形式。实际上,整数 中除以 4 余数为 3 的质数在 里也起着‘质数’的作用。”

我咀嚼着米尔嘉的话,感觉很不可思议。使用高斯整数 ,就能理解整数 中存在可以粉碎质数的情况。

但是,没想到研究能否粉碎竟然跟“除以 4 的余数”有关。用余数研究整数原来这么深奥啊。

除法和余数我们在小学就学了。原来不知不觉中我们从小学开始就拿着“求余数”这个强有力的工具了啊。想起小学时学除法的时候,我们一字一顿地跟着老师念:“除 —— 数 —— ”。像是被这段记忆牵引着一般,我想起了小学高年级时期的老师。老师看了我的笔记本,表扬我:“你写的数字真漂亮。”从那以后,我就喜欢在笔记本上写数学公式了。

泰朵拉开了口。

“米尔嘉,在复平面里计算,在 里计算,在 里计算……在这么多范围里计算数字,好有意思啊,而且还掺杂着图形……”

“考虑计算的结构是很有意思的。”米尔嘉回答,“为了将计算进一步思考归纳,我们有一个概念 —— 群。这也很有意思,不过今天我们该回去了,明天再讲群论。”

“好。”泰朵拉答道。

我重新想到。

人类真是无法预知未来。

我们以为明日也会往常如今日。

明天,也能继续听米尔嘉讲解。

在放学后,在老地方。

虽然我们本应知道“会发生什么都是未知的”。

明天再讲群论 —— 米尔嘉确实是这么说的。

然而,她却没能遵守约定。

因为第二天,发生了交通事故。

“这些命题”反映了一个事实。

数字世界从 扩展到 时,质数分解的形态,

是由质数除以 4 的余数决定的。

—— 加藤和也,黑川信重,斋藤毅,《数论 I》[25]

我的笔记

用下图来表示 △OPQ 和 △OP/'Q/' 相似。

设 ( 为实数),则 α, β 表现为以下形式。

此时,可用下列等式表示 αβ

a, b, c, d 表示两个三角形的各边。

首先,ΔOPQ 的三边边长如下所示。

然后,ΔOP/'Q/' 的三边边长如下所示。

最后得到

可以说,三边比例相等。