5.2.1 复数的和
放学后，我急忙赶到图书室，米尔嘉和泰朵拉已经开始讨论了。
“复数是由平面上的点表示的 —— 这里我不太懂。不，我知道要让复数 3 + 2i 对应平面上的点 (3, 2)，但是我认为数字是数字，点是点，是两回事。‘数字’和‘点’是怎么建立关系的呢？”
“数字的本质在于计算。用点计算试试，想想复数的和与积。”米尔嘉说。
◎ ◎ ◎
想想复数的和与积。
两者都可以用复平面上的几何图形来表示。
我们用平行四边形的对角线来表示复数的和。因为复数的和就等于横坐标 x 与纵坐标 y 的和，也就是两个矢量的和，很简单。
“复数的和” “平行四边形的对角线”
在图上举例说明就形象了。两个复数 1 + 2i 和 3 + i 的和等于 4 + 3i。能看到平行四边形吧？
5.2.2 复数的积
这次是复数的积。
现在我们来求以下的复数 α 和 β 的积。
首先按一般思路算。
然后在复平面上将 α, β, αβ 三个数字作为矢量画出来。
光看这张图是看不出三个数字的几何关系的。
然而我们加上点 (1, 0)，稍微引一条辅助线，两个相似的三角形就会如星座浮现在夜空般，呈现在眼前。以这张图来看，保持右下方的小三角形的比例不变，将其扩大并旋转，就能变成左方的大三角形。用计算坐标的方法就可以确认三边比例是否相等。
“复数的积”可以用“相似的三角形”来表示。但这又意味着什么呢？为了深入研究，我们用极坐标的形式来表示复数。不用 xy 坐标来表示复数，而是用到原点的距离（绝对值）和与 x 轴的角度（幅角）的组合来表示。
复数的绝对值指的就是到原点 O 的距离。
复数的幅角指的就是和 x 轴正半轴形成的夹角。
例如复数 2 + 2i，如下图所示。
由勾股定理可知，到原点 O 的距离是 。因为复数 2 + 2i 的绝对值是 ，所以这下能明白幅角是 45° 吧？看见一个等腰直角三角形了吧？
2 + 2i 的绝对值写作 |2 + 2i|，2 + 2i 的幅角则写成 arg (2 + 2i)。
此时 αβ 的绝对值怎样呢？
因为 △OPQ 相似于 △OP/'Q，所以这两个三角形的各边边长的比例相等。
去分母，得到
又因为在这里 Q/' = αβ, P = 1, Q = α, P/' = β，所以可得 ，，，，即
|αβ|=|α|×|β|
也就是说，“复数的积”的绝对值就等于“复数的绝对值”的积。
接下来，我们来研究 αβ 的幅角。
∠POQ/' = ∠P/'OQ/' + ∠POP/'
又因为 △OPQ 相似于 △OP/'Q/'，所以有
∠POQ = ∠P/'OQ/'
因此，我们可以得到下式。
在此又因为 ∠POQ/' = arg (αβ), ∠POQ = arg (α), ∠POP/' = arg (β)，就可以得到结论。
arg (αβ) = arg (α) + arg ( β)
归根结底，“复数的积”的幅角就等于“复数的幅角”的和。
综上所述，采用极坐标的形式就可以得到下面这种关系。
“复数的积” “绝对值的积”和“幅角的和”
αβ 的绝对值等于 α 的绝对值乘以 β 的绝对值，这很正常。但是 αβ 幅角居然等于 α 幅角加 β 幅角？这就很有意思了。可以说幅角具有指数运算的性质。
那么，能从几何层面理解复数的积，同理也能从几何层面理解复数平方后的式子。我们用复平面的知识，再研究一下午饭时那道速度题 —— “平方等于 -1 的数字”。
5.2.3 复平面上的 ±i
我们用复平面的知识，再研究一下“平方等于 -1 的数字”。如果用代数的眼光来看方程 x2 = -1，问题就是
平方等于 -1 的数字是什么？
而如果用几何的眼光来看，问题就是
如何扩大及旋转才能令其变换两次后得 -1 ？
话说回来，-1 到底是什么呢？复平面上，-1 是“绝对值为 1，幅角为 180°”的一个点。因为可以靠“绝对值的积与幅角的和”来计算复数的积，所以平方后等于 -1 的复数 x 的性质就是“绝对值平方后为 1，幅角扩大 2 倍为 180°”。
平方等于 1 的正数是 。扩大 2 倍为 180° 的幅角就是 90°。也就是说，绝对值为 1，幅角是 90° 的复数平方后为 -1。这确实与复数 i 一致。
然而，x2 = -1 应该有 ±i 两个解。另一个解 x = -i 去哪儿了呢？实际上，扩大 2 倍为 180° 的幅角有两个，分别是 +90° 和 -90°。这两个角刚好与 +i 和 -i 对应。-90° 角扩大 2 倍是 -180°，但 180° 与 -180° 实际上是同一个角度。
像这样，如果可以把 ?i 看作是“绝对值为 1，幅角是 ±90° 的复数”，“±i 平方后等于 -1”的性质就没什么别扭的了。也就是说，“向右连续转两次”和“向左连续转两次”就等于“向后转”。
用几何方法更容易形象生动地体现数字的性质。将复数这个“数字”表现为复平面上的“点”，确实是个很棒的点子。
◎ ◎ ◎
“很棒的点子。”米尔嘉说。
米尔嘉流畅的解说令我和泰朵拉深深地折服了，一时间我们都沉默着不知道说什么。
“对了，米尔嘉。”我说，“因为复数包含实数，所以同一规律也适用于计算实数的积吧？”
米尔嘉沉默地点点头。我继续往下说。
“比如有这么一个问题 —— ‘负数乘以负数为什么得正数’。
负 × 负 = 正
这里会自然而然地想到复平面上的旋转。比如，我们来考虑下面这个式子。
(-1) × (-1) = 1
乘两次 -1 也就相当于将 -1 的幅角 180° 扩大两倍，就变成了旋转 360°，等于根本没旋转。根本没旋转指的是幅角为 0°，对应 1 这个数字对吧。”
“泰朵拉，刚才他说的你明白吗？”米尔嘉问。
“啊，这个……我明白了。”泰朵拉回答。
“那就好，就像他说的那样，‘负负得正’是很自然的，要问有多自然，就像‘连续向后转两次就回到原来的朝向’一样自然。”
啊，之前从米尔嘉那听到“ω 的华尔兹”的时候，差不多也是这个感觉。只看实数来说明负数的积，是无法直观地理解的。然而用复平面旋转来形象地说明，就不觉得负数的积别扭了。把较为宽广的复数世界描绘于心，也就能彻底理解深埋于其中的实数世界了。从高维空间往下看，找寻数字结构也就容易了许多……
泰朵拉突然开了口。
“米尔嘉……我感觉……有点明白了。用复平面来将数字和点对应。数字的计算对应点的移动。这样同时加深了对数字和点的理解……对吧？”
“说的没错，泰朵拉。将数字和点对应，代数和几何对应。”米尔嘉说。
“复平面是代数和几何邂逅的舞台。”
米尔嘉说着，将食指轻轻贴在自己的双唇上。
“在复平面这个舞台上，代数和几何接吻了。”
米尔嘉的一句话，惹得泰朵拉面红耳赤地低下了头。