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《数学女孩2:费马大定理》5.1 教室

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5.1.1 速度题

“我来了。”泰朵拉说。

午餐时间,我刚从小卖部买了面包回到教室。

“诶?”为什么泰朵拉会出现在高二年级的教室里?

“我借一下这张桌子。”

泰朵拉说着“向后 —— 转!”把空桌子刷地掉了个头,正好跟米尔嘉的桌子面对面。

“我叫她来的。”米尔嘉说。

两个女生在吃午饭,泰朵拉吃盒饭,米尔嘉还是万年不变地只吃巧克力。而我则啃着面包看着她们俩。虽然类型不同,但她们俩都是美女啊……泰朵拉坦率而富有活力,米尔嘉则精明干练。

“你午饭总是吃奇巧威化巧克力吗?”泰朵拉问。

“有时候也吃松露的。”米尔嘉答道。

“那个,我不是这个意思,我的意思是不吃点米饭或者面包什么的?”

“这个嘛,话说没有什么有意思的题吗?”

“有一道适合泰朵拉回答的速度问题。”我说。

“什么什么?什么问题?”泰朵拉张大了眼睛。

“平方等于 -1 的数字是什么呢?”

问题5-1

平方等于 -1 的数字是什么?

“平方等于 -1 的数字……有了有了,我知道了,是 对吧!另外一种叫法是虚数单位 i !”泰朵拉自信满满地断言道。

“嗯嗯,我就知道你会这么回答。”我说。

米尔嘉闭上眼睛缓缓摇了摇头。

“诶?不对……吗?”

“米尔嘉 —— ”我把问题扔给了米尔嘉。

“±i。”米尔嘉立即回答。

“正负 i……啊,对。平方得 -1 的不是只有 +i,-i 也是……”

解答5-1

平方等于 -1 的数字是 ±i。

泰朵拉一脸不满。

“学长,我感觉你在故意耍我……”

“才没有,我问得很认真啊。”我反驳道。

“就是。”米尔嘉说,“平方等于 -1 的数,就是二次方程 x2 = -1 的解。因为是二次方程,所以该考虑到有两个解。n 次方程的解有 n 个,这是代数学基本定理(但要注意重根)。这哪能说是耍你呢。”米尔嘉咬了一口巧克力。

“+i 和 -i 两个解……这样啊。”泰朵拉开始对她的汉堡肉饼下手。

我们沉默着吃了一会午饭。米尔嘉吃完巧克力,饶有兴趣地看着泰朵拉奇特的筷子盒。不久泰朵拉又开口了。

“i 真是不可思议。总感觉不能接受它的平方等于 -1,该说是有些别扭吗……”

“对你而言平方等于 -1 很别扭?”米尔嘉说。

“-1 吗?不,也不是别扭……”

“喔……那么我们来想想方程式和数字的关系。首先从 x + 1 = 0 开始。”米尔嘉向我伸出了手。

看来是下令让我把笔记本和自动铅笔交出来。

5.1.2 用一次方程定义数字

首先从 x + 1 = 0 开始。试试解这个简单的一次方程。

这下我们就知道了这个方程的解是 x = -1。很简单。

那么,我们在 x ≥ 0 的范围内考虑这个方程式看看。

x + 1 = 0  令 x ≥ 0

现在,假设有个人只知道大于等于 0 的数,这个人觉得 x + 1 = 0 这个方程很别扭。他会想:“因为 0 是最小的数字,所以不可能有加上 1 得 0 的数字,这样的数字不存在。”兴许,他可能要感 慨“加上 1 得 0 的数字好神秘”。

哎呀,泰朵拉笑了。不过我没在开玩笑。大约从 18 世纪开始,人类才能自然地接受 -1 这样的负数。事实上,帕斯卡在 17 世纪还认为 0 减去 4 等于 0。以几千年的数学发展史来看,负数得到运用也是在不久之前的事。18 世纪最伟大的数学家,我们的老师莱昂哈德·欧拉,他第一次明确阐述了数轴向正和负两个方向延伸的概念。

言归正传,对这种只知道大于等于 0 的数字的人,我们试试这么说。

“定义一个数字 m,使得 m 满足方程 x + 1 = 0。”

这种人一定会说“才不存在 m 这样的数字”吧,那我们就这么告诉他。

m 就是能将等式 m + 1 替换为 0 的一个形式上的数字。”

这个形式上的数字 m 指的是……用普通的话说就是 -1。我们把 m 这个数作为 x + 1 = 0 这个方程式的解“定义”了。也可以说,用方程式的形式表示了 m 应该满足 的“公理”。当然,对我们来说这种做法确实比较繁琐。

到这里一次方程讲完了。

我们用一次方程的解定义了 m 这个数(实际上 m 就等于 -1)。

现在开始,我们要用二次方程了。

我们用二次方程的解定义 i 这个数字。

5.1.3 用二次方程定义数字

思考以下二次方程。

x2 + 1 = 0

在实数范围内,没有能满足这个二次方程式的数。因为如果 x 是实数,x2 一定大于等于 0。在大于等于 0 的数字上加上 1,不可能再等于 0。所以“只知道实数的人”会觉得这个方程式别扭。

要感慨“平方后得 -1 的数字好神秘”吗?不不,我们还是来用方程 x2 + 1 = 0 定义一个新的数字吧。

“定义一个数字 i,使得 i 满足方程 x2 + 1 = 0。”

这和刚才的“定义一个数字 m,使得 m 满足 x + 1 = 0”很像。当然,满足方程 x2 + 1 = 0 的数字有两个。准确地说,我们定义 i 为满足方程 x2 + 1 = 0 的两个数字中的一个。

只知道实数的人肯定会说“才不存在 i 这样的数字”吧。然而,我们会这么回答他。

“i 就是能将 i2 + 1 替换为 0 的一个形式上的数字。”

跟刚才的 m 是一样的。我们把 i 这个数作为 x2 + 1 = 0 这个方程式的解“定义”了,即我们用方程式的形式表示了 i 应该满足的“公理”。

尽管如此,一般人是不会习惯用方程式的解来定义数字这种独特的想法的。因为没法实际用肉眼看到。人类要想把握数字概念,图形是非常重要的。在负数情况下,关键就是“将数轴向负的方向延伸”;而虚数情况下,关键就是“两条数轴”。

第一条是实数的数轴,也就是实轴。

第二条是虚数的数轴,也就是虚轴。

依据由实轴和虚轴这两条数轴形成的平面 —— 复平面,我们就能理解复数了。

要普及复数,就必须从一维空间飞跃到二维空间了。

◎  ◎  ◎

眼看米尔嘉的解说告一段落了,泰朵拉举起了手,手上还拿着筷子……

“米尔嘉,我想问个问题……”

这时下午课的预备铃响了。

“诶?!”泰朵拉遗憾地收拾起盒饭,摆出了她惯用的 1, 1, 2, 3 —— 斐波那契手势就回自己的教室了,“剩下的放学后去图书室说哦!”