5.3.1 卡片
第二天放学后，我独自走出校门。
今天我一直在图书室算题。米尔嘉先回去了，泰朵拉却没有出现。自己虽然计算得很顺利，但总觉得有些无聊。
我顺着住宅区曲曲折折的小路前行，却被背后一声“学 —— 长 ——”叫住了。泰朵拉向我跑了过来。
“学长，哈啊，哈啊……追，追上你了。”
“我以为你已经回家了呢。”
“哈啊……我，我只是晚去了图书室，一，一会儿。”泰朵拉上气不接下气地说着，深深地吸了一口气，“那什么，今天早上我去老师办公室了哦。”
“嗯？”
“我跟村木老师聊了聊复平面，他就拿给了我新的问题。”
泰朵拉取出卡片。
问题5-2 （五个格点）
假设 a, b 为整数，把在复平面上与复数 a + b i 对应的点称为格点。现在给出五个格点，这五个格点的位置是随意的，请证明我们可以从中选出某两个合适的点 P 和 Q，使得线段 PQ 的中点 M 也是格点。中点 M 可与给出的五个格点位置不同。
“学长，这个你能解吗？”
这语调似乎有什么深意。
“嗯？只给出了‘格点’这一个条件，感觉有点难吧。”
我边走边看卡片，思考着。泰朵拉一边偷瞄着我的神情，一边在我身旁不停地打转。小动物泰朵拉。
线段 PQ 的中点 M 指的是将线段 PQ 二等分的点。中点是图形……不，是几何表示。使用坐标思考的时候，就需要用数学公式体现中点这个具有几何性质的说法。把两点的坐标记作 (x, y) 和 (x/', y/' )，中点的坐标就可以写成
嗯……
“嗯，花一天去想肯定能解开。不过要是用一整天都没解开，那么即使花上一星期肯定也解不开了。”我说。
“嘿嘿嘿……学长的意思是说，这题很难喽？”
“喂泰朵拉，你干吗一副深不可测的样子？”
“因为解开了！”
“解开什么？”
“这个问题啊！难道还有别的吗？”
“谁解开的？”
“就是本姑娘，泰朵拉！”泰朵拉举起右手示意。
“解开什么？”
“这个问题啊！—— 学长，不要开玩笑嘛。我从村木老师那接到问题以后就一直在想。因为总感觉能解开，所以上课也在一直研究。”
“嗯嗯。”
“然后，我只花了几个小时就解开了！”
“上课时间……”
“学长，你想听不？想听吗？我的答案！”
泰朵拉把手交握在胸前，从下方望着我。
“好好，请讲。”既然她都使出了最终武器，我也就没办法了。
“那么，我们去‘豆子’吧！”
5.3.2 “豆子”咖啡店
我们走进了车站前那家名叫“豆子”的咖啡店，随便点了些东西之后，泰朵拉就翻开了笔记本。研究数学的时候我们总是并排坐，这样方便看笔记，而且……嗯，因为方便看笔记。
“首先，按照原理，用实际例子来验证自己的理解。因为‘示例是理解的试金石’嘛。我们就随便设五个格点吧。”
A(4, 1), B(7, 3), C(4, 6), D(2, 5), E(1, 2)
“我们一计算中点，就发现确实出现了格点。就这个例子来说，我们把点 A, D 当成点 P, Q。这样线段 PQ 的中点就是格点 M(3, 3)。”
线段 AB 的中点
线段 AC 的中点
线段 AD 的中点 （格点）
线段 AE 的中点
线段 BC 的中点
线段 BD 的中点
线段 BE 的中点
线段 CD 的中点
线段 CE 的中点
线段 DE 的中点
泰朵拉高高举起握紧的拳头扬言道：“那么，我要在此拿出‘秘密 具’了！”
“什么秘密工具啊，朵拉 A 梦？”
“是‘调查奇偶性’啦！”今天的泰朵拉，眼中闪着不一样的神采。
◎ ◎ ◎
是“调查奇偶性”啦！
设与格点对应的复数为 x + y i，调查 x, y 的奇偶性，这样一来，就会变成下面四种情况中的一种。
给出了五个格点。
因为我们把五个格点分类成四种情况，所以至少有两个点与 x, y 的奇偶性相同。
我们把这两个与 x, y 奇偶性相同的点设为 P, Q。比如 P（偶数，奇数），Q（偶数，奇数）。因为 P, Q 的坐标和 x, y 横纵坐标的奇偶性是相同的，所以 P, Q 的中点 M 的横坐标 x 和纵坐标 y 就是下面这种形式。
偶数与偶数的和，奇数与奇数的和都是偶数。
所以 P, Q 的中点 M 的坐标是偶数除以 2，横坐标 x 和纵坐标 y 都是整数。这就说明，M 是格点。
综上所述，可证得不管五个格点放在哪里，都可以选出两点，使这两点的中点为格点。
好了，这样我们的工作就告一段落了……嘿嘿。
解答5-2 （五个格点）
不管五个格点在哪里，都存在坐标奇偶性一致的两个点。可以将这两个点作为 P, Q。
◎ ◎ ◎
“嘿嘿。”泰朵拉似乎很高兴地说道。
居然用了米尔嘉的标志性台词。泰朵拉真有一套啊。
话说回来……
“这漂亮地运用了鸽笼原理呀。”
“鸽笼原理……那是什么？”泰朵拉笨拙地东张西望。——在学鸽子吗？
“鸽笼原理说的是，有 n + 1 只鸽子钻进 n 个鸽笼，那么至少有一个鸽笼里关着两只或两只以上的鸽子。就是这么个原理。”
“嗯……这不是理所当然的吗？”
“是理所当然，不过也是个方便的原理。”
“这次的问题里有出现鸽笼吗？”
“‘奇偶的情况’就是鸽笼，格点就是鸽子。‘把五个格点分类成四种情况，至少有两个格点是同一情况’跟‘在四个鸽笼里放五只鸽子，至少有两只进了同一个鸽笼’是一回事吧。”
“学长……没错，没错，确实没错！”
“你说了三次‘没错’，质数。”
“鸽笼原理……真的用到了呢！”
鸽笼原理
有 n + 1 只鸽子钻进 n 个鸽笼，那么至少有一个鸽笼里关着两只或两只以上的鸽子。在这里，n 是自然数。
“这原理说起来谁都懂，没想到居然还起了名字，得写下来才行，鸽笼……原理。”
泰朵拉拿出笔袋，把鸽笼原理记在笔记本上。
“咦？泰朵拉，给我看看你那页笔记。”
“这页吗？是我算了又算的草稿，太丢人了。”
笔记写了大概有 5 页，上面画了一堆格点和格点连成的星形图形。很明显泰朵拉一直想着这个格点问题，试了多种多样的情况。
“泰朵拉，你试了很多种情况啊。”
“没错。我把学长你经常挂在嘴边的那句‘示例是理解的试金石’拿来实践了。为了能真正理解这个问题，就一个劲儿地举例子，确实怎么举例都会出现格点。然后我就回到了格点的定义 —— 横坐标 x 和纵坐标 y 都是整数。要想让中点成为格点，必须让两点坐标的和能被 2 整除……然后我走到这一步才意识到要分奇偶情况讨论。所以能解决这个问题，都是多亏了学长。”
泰朵拉说着，脸上绽开微笑。
泰朵拉很努力嘛。
两个小挂饰垂在泰朵拉的笔袋下，一个是用细长的银色金属丝弯成的鱼形挂饰，还有一个是发着蓝色金属光泽的字母 M。是名字的首字母吗？不过，泰朵拉的首字母是 T 啊。
M，是谁名字的首字母呢？