8.5.1 备战
“呼……”泰朵拉深深地叹了一口气，“学长，证明过程太长了，而且字母还这么多……”
周一放学后，我在图书室里跟泰朵拉讲如何证明“不存在三边皆为自然数，面积为平方数的直角三角形”。
“人家一下子就折服了……不过，学长你用的武器又是我有的呢……”
基本勾股数的一般形式
互质
两数之和乘以两数之差等于平方差
积的形式
奇偶性
最大公约数
分解质因数
反证法
矛盾
“就算这样，人家还是没能解开。虽然做到了基本勾股数的一般形式这一步，但是没能想到‘互质’，而且人家走到一半，就连存在互质这个条件都忘光了……”
“我的证明过程确实很长，不过我之前走了比这长好几倍的弯路，试过式子变形，也读过好多遍笔记，想着能不能发现什么。算着算着也算错过，发现算错了就从错的地方改过来……就这样一遍又一遍，刚开始‘基本勾股数的一般形式’还是泰朵拉你提醒我的呢。”
“学长，你怎么知道该往哪边走啊？”
“我也不知道。变量间的关系是渐渐明晰的，不可能从一开始就看破。所以我只能尝试着去算。首先要前进，然后看着前方出现的式子，再考虑下一步。难就难在最后的最后，怎样才能构成同样形式的数学公式那里。这样才能推导出矛盾。最后还是我表妹尤里给我提了个醒……”
“不是很像勾股定理吗？”
“我已经很明白怎么把图形问题转换到数学公式上了，但是好不容易转换到数学公式上了，不能往前走就没有意义了呢……要是不能习惯对付数学公式，就不能拿它当有效的武器来运用了……”
“没错，泰朵拉。的确是这么回事。绝对有必要自己实际动手，练习写数学公式。”
泰朵拉像是在整理思路般，不紧不慢地说着：
“我觉得……在课堂上学的数学，跟学长学姐们一起做的数学很不一样。课堂上学的数学很无聊乏味，跟学长学姐们一起研究的数学感觉却很生动有趣……不过可能是我搞错了。课堂上的数学就像武器的基本用法，像是剑道里的挥剑练习和手枪的试射一样，所以会觉得枯燥又无聊。不过要是不扎实地打好这部分基础，一旦开战，就会掉链子了。”
泰朵拉一脸认真，说到“挥剑练习”的时候却可爱地摆了个挥剑的姿势，说到“手枪试射”的时候则眯起一只眼瞄准我。
规规矩矩地做着手势的小女生。
8.5.2 米尔嘉
“有趣的问题？”米尔嘉将两手撑在桌子上。绷带已经摘了。
“啊，米尔嘉学姐，你好！学长在给我讲证明题，讲的是怎么证明不存在三边都是自然数，面积是平方数的直角三角形。换言之，我们可以把它叫作‘面积不能构成平方数的直角三角形定理’吧。”
“不是‘换言之’，本来就是这么回事。”我苦笑道。
我们跟米尔嘉简单讲了一下证明过程后，米尔嘉谈到了无穷递降法。
“无穷递降法？”还有名字啊。
“对，这是费马的拿手好戏。首先创造一个关于自然数的数学公式，然后将这个数学公式转换成有着同样形式的另一个数学公式。此时关键在于式子中要含有逐渐减小的自然数。重复同样的转换步骤，自然数就会越来越小，只要不断重复转换，自然数就会无限减小……但话说回来，自然数存在最小值，自然数不可能无穷递降。由此可以推导出矛盾。也可以把这个证明方法想成反证法或者数学归纳法的特殊形式。费马创造了无穷递降法——”
米尔嘉说到一半突然停了，唰地闭上了眼。一瞬间周围的气氛来了个一百八十度大转弯，弥漫着某种巨大的物体要诞生了的感觉。
沉默。
几秒后，黑发才女点着头，睁开了眼睛，眼中闪着睿智的光芒。
“喔……原来如此。那么我就借这什么‘面积不能构成平方数的直角三角形定理’来初步证明给你们看看吧。”
“初步证明……什么啊？”
“费马大定理。”米尔嘉说道。
“啊？”
她又说出了这么惊人的话……
“我来初步证明费马大定理。不过只证明四次方的情况。”米尔嘉说着拿出卡片，轻轻地放在桌上，“村木老师最近也太沉迷于出题了吧？总之，用反证法来证明。”
◎ ◎ ◎
问题8-3 （费马大定理：四次方的情况）
证明下面的方程式不存在自然数解。
总之，用反证法证明。
要证明的命题是“x4 + y4 = z4 不存在自然数解”。我们假设原命题的否定——“x4 + y4 = z4 存在自然数解”，然后来推导矛盾。
反证法的假设：“x4 + y4 = z4 存在自然数解。”
设自然数解 (x, y, z)=(a, b, c)。虽然可以假设它们两两互质，但也不一定非要这样假设。
a, b, c 满足下式。
a4 + b4 = c4
接下来，像下面这样用 a, c 来定义 m, n。
再像下面这样用 m, n 定义 A, B, C。
根据这个定义，用 a, b, c 来表示 A, B, C。
得到 (A, B, C) = (c4 - a4, 2c2a2, c4 + a4)。因为 a, b, c 是自然数，且 c > a，所以 A, B, C 也是自然数。
下面来计算 A2 + B2。
由此，A, B, C 就变成了满足下式的一组自然数。
A2 + B2 = C2
即 A, B, C 为构成直角三角形三边的自然数，C 是斜边。那么，来想想这个直角三角形的面积吧。
另外，由 a4 + b4 = c4 这个等式可以得出 c4 - a4 等于 b4。我们利用这个条件，继续求直角三角形的面积。
所以这个三角形的面积为平方数。用 D 替换 ab2c 就清楚了，如下所示。
由此可以推导出如下命题：
“存在三边皆为自然数，面积为平方数的直角三角形。”
另一方面，由“面积不构成平方数的直角三角形定理”可知如下命题成立。
“不存在三边皆为自然数，面积为平方数的直角三角形。”
这就构成了矛盾。因此由反证法可知：
“x4 + y4 = z4 不存在自然数解。”
这样就证明了费马大定理 —— 虽然只证明了四次方的情况。
好了，这样我们的工作就告一段落了。
解答8-3 （费马大定理：四次方的情况）
采用反证法。
1. 假设 x4 + y4 = z4 存在自然数解。
2. 假设这个解 (x, y, z) 等于 (a, b, c)。
3. 令 m = c2, n = a2。
4. 令 A = m2 - n2, B = 2mn, C = m2 + n2。
5. 令 D = ab2c。
6. 于是，存在 。
7. 这与解答 8-1 相矛盾。
8. 因此，x4 + y4 = z4 不存在自然数解。
8.5.3 就差填上最后一块拼图
“我们的工作就告一段落了。”米尔嘉一脸满足地说道。
“居然这么简单就证明出来了……”我感叹道。
“因为有你的证明啊。正因为跟你证明的命题相悖，我才能推导出矛盾。我做的只是填上最后一块拼图。”
米尔嘉笑眯眯地说着。
“感觉好了不起啊……”泰朵拉说道，“用反证法的话，只要制造跟已被证明的命题相矛盾的命题就可以了呢……”
泰朵拉全神贯注，准备自己再证明一遍米尔嘉的证明。
“这张卡片是村木老师给你的？”我问道。
“对。刚刚我顺路去办公室的时候拿到的。”
真是有意思的证明。泰朵拉的卡片上写的是关于“直角三角形的面积”
的问题。用她那张卡片上的问题得出的结论，居然能证明 FLT(4)。
我们通过数学公式，将直角三角形的图形世界和 FLT(4) 连接在了一起。各个命题并不是散乱的小星星，而是像星座那样在某处相连……
“对了。”米尔嘉说道，“村木老师问我们去不去冬季的公开研讨会。”
“公开研讨会是什么？”泰朵拉抬起头。
“在大学举办的面向公众的研讨会。”我答道，“也就是讲座。村木老师每次都推荐我们参加。去年我和米尔嘉还有都宫，我们三个人去的。看来今年也是 12 月份举办啊。”
“人家也想去！”泰朵拉举起双手，“啊……不过既然要听讲，是不是会有考试啊？”
“没有没有。”我说，“任何人都可以参加，所以不用担心。话说回来，今年是什么主题？”
“费马大定理。”米尔嘉答道。
然后终于由此得出无限持续，
满足同一条件并逐渐缩小的自然数。
但这是不可能的。
因为不存在无限缩小的自然数列。
——《费马大定理》[9]