8.3.1 旅行的出发点：用 m, n 表示 A, B, C, D
夜晚，在自己家里。
我即将要出发去旅行，一场推导矛盾的旅行。已确认出发地点。自然数 A, B, C, D 有着如下关系。就从这里开始推导矛盾。
出发点
由 A2 + B2 = C2 和 A ⊥ B，可知 A, B, C 是一组基本勾股数。也就是说，采用‘基本勾股数的一般形式’，就可以用 m, n 表示 A, B, C。这就是泰朵拉所说的毕达哥拉·榨汁机。
基本勾股数的一般形式（毕达哥拉·榨汁机）
自然数 m, n 的条件：
m > n
m ⊥ n
m, n 仅有一方为奇数（两者奇偶性不一致）
（参考 2.5 节）
由“面积是平方数”这个条件我们已经推导出了 AB = 2D2 这个等式，接下来将 m, n 代入这个等式，研究 D 的性质。
之前虽然跟泰朵拉讲了定义方程式的作用，但自己面临导入变量的时候，心中还是会有一丝不安。我很担心，会不会增加变量后搞得一团乱呢……
我告诉自己“要信赖数学公式”，赶走了心中不安的情绪。数学公式的好处就在于，可以脱离含义，用机械性的操作来一层层解开问题。只要将基本勾股数的一般形式纳入式子中，就可以忘掉直角三角形的事儿了。之后胜负就取决于能否将数学公式作为武器熟练运用了。
首先用 m, n 表示 AB = 2D2。
虽然看不到路途前方有什么，但旅行开始了。
上路吧！
看，出现了这样的等式。
D2 = mn(m + n)(m - n)
这不是……之前做过的形式吗？
左边的 D2 是“平方数”。
然后，右边是“互质数字的乘积”，没错……吧？
因为 m 和 n 互质，所以从这里出现的四个因子
m, n, m + n, m - n
中，任意拿出两个因子，都可以两两互质……是吧？
比如说，存在 (m + n) ⊥ (m - n) ？
我很不安。
如果在这里不存在 (m + n) ⊥ (m - n)，我就失去了重要的武器。用反证法踏踏实实地证明吧。
假设 m + n 和 m - n 不互质，此时应存在某个质数 p 和自然数 J, K 使得下式成立。
这个质数 p 是 m + n 和 m - n 共同的质因数。
只要从这个式子推导出矛盾，就能证明 m + n 和 m - n 互质了。来，看看能不能守住武器。
把上面两个式子左右两边分别相加，导出 p 和 m 的关系。
将左右两边分别相减，导出 p 和 n 的关系。
于是得到以下关系。
变成了乘积的形式，我已经明白了！
首先，p 不可能等于 2。因为 m 和 n 的奇偶性不一致，所以 pJ = m + n 是奇数，因此 p 不是偶数。也就是说，p 不可能等于 2。
但是 p 也不可能大于等于 3。因为如果 p 大于等于 3，m 和 n 就都是 p 的倍数。但是 m ⊥ n —— 也就是说 m 和 n 没有共同的质因数。所以 p 不可能大于等于 3。
综上所述，可以说 (m + n) ⊥ (m - n)。
呼……
以防万一，我把 m + n 和 m 互质的关系也写出来吧。
假设 m + n 和 m 不互质，此时存在某个质数 p 和自然数 J, K 使得下式成立。
采用跟刚才同样的方法，得到如下等式。
据此可知 m, n 都是 p 的倍数，和 m ⊥ n 相矛盾。
同理可证 m - n 和 m，m + n 和 n，m - n 和 n 都互质。
好，这样就证明了四个因子
m, n, m + n, m - n
是分别两两互质的。我牢牢守住了重要的武器。
那么言归正传。刚刚经研究得出了下式。
D2 = mn(m + n)(m - n)
一方面，左边的 D2 是平方数。如果进行质因数分解，就能得到 D2 含有偶数个质因数。
另一方面，右边四个因子 m, n, m + n, m - n 是两两互质的 —— 也就是说没有共同的质因数。
想象一下把左边的质因数分配到右边四个因子中的情况，则四个因子都各自含有偶数个质因数。总之一句话，“m, n, m + n, m - n 全部是平方数”！
“互质”真的是一件实用的武器啊……用“最大公约数为 1”体现“互质”的时候还有些摸不清状况，而换成“没有共同的质因数”就感觉一下子开窍了，就如同一把锋利的长剑。
8.3.2 原子和基本粒子的关系：用 e, f, s, t 表示 m, n
接下来用数学公式来表示 m, n, m + n, m - n 是平方数这个条件吧。
刚才我们用 m, n 表示了 A, B, C, D。
这次用 e, f, s, t 表示 m, n。
嗯？
我……
我难不成踏上了发现微结构的旅途？
研究原子 (A, B, C, D)，发现了小原子 (m, n)。
研究原子 (m, n)，又发现了更小的基本粒子 (e, f, s, t)……
这次的旅行就是这么回事吧。
没准还有更小的夸克……
接下来……
因为 m, n, m + n, m - n 是平方数，所以存在以下自然数 e, f, s, t。
用 e, f, s, t 表示 m, n, m + n, m - n“原子和基本粒子的关系”
e, f, s, t 分别两两互质。
又导入了新的变量，而且还是四个……不过一定没问题的。要信赖数学公式，信赖数学公式……
下面该往哪边走呢？我重看了一遍笔记想着。
试试用 e, f, s, t 表示 m 吧。虽然已经有 m = e2 这个等式了，不过由下面的式子应该能够得到些什么。
嗯，把两个式子左右两边分别相加相减，可以用 s, t 表示 m, n，即用基本粒子来表现原子的结构。
根据“两数之和乘以两数之差等于平方差”，将 2n=s2 - t2 的右边变形为乘积的形式。做出乘积的形式，是为了方便研究整数的结构。
可得到 f 和 s + t, s - t 的关系，即基本粒子间的关系。
f 和 s + t, s - t 的关系“基本粒子间的关系”
2f2 = (s + t)(s - t)
8.3.3 研究基本粒子 s + t, s - t
下面来研究刚才得出的式子 2f2 = (s + t)(s - t)，先从等式右边的因子 s + t, s - t 开始吧。
s + t 和 s - t 是整数。首先“调查奇偶性”。
s 的奇偶性如何呢？根据“原子和基本粒子的关系”，可知存在 m + n = s2。m + n 的奇偶性……我懂了。因为 m 和 n 的奇偶性不一致，所以 m + n 不是偶数 + 奇数就是奇数 + 偶数。不管怎样，m + n 都是奇数，也就是说 s2 也是奇数。s 平方后还得奇数，说明 s 也是奇数。好，明确 s 是奇数了！
t 的奇偶性同理。存在 m - n = t2，m 和 n 的奇偶性不一致。t2 是奇数，因为 t 平方后还得奇数，所以 ((t 也是奇数((。
因此，s 和 t 都是奇数 —— 就是它！
因为 s 和 t 都是奇数，所以 s + t 和 s - t 都是偶数。
话说回来，s 和 t 互质吗？
因为 (m + n) ⊥ (m - n)，所以 s2 ⊥ t2。因为平方后的数字互质，所以平方前的数字也互质。没有共同的质因数这点在平方前和平方后是不变的。也就是说，s 和 t 是互质的。
好，这样就明确了 s ⊥ t ！
咦？我不是在“原子和基本粒子的关系”中以“e, f, s, t 分别两两互质”为前提导入了变量吗……算了，总之可以肯定 s ⊥ t。
这样 s，t 就基本摸透了。
由 s, t 可知
s 是奇数
t 是奇数
s + t 是偶数
s - t 是偶数
s 和 t 互质(s ⊥ t)
我又看了一遍笔记，考虑应该把刚刚得到的 s + t 和 s - t 的条件代入哪个式子。
带有 s + t 和 s - t 这样的因子的数……在这个“基本粒子间的关系”中。
2f2 = (s + t)(s - t)
因为 s + t 和 s - t 是偶数，所以 和 是整数。上式可写成下面这样。
写成这样后，右边就成了四个整数的乘积的形式。
在等式两边同时除以 2，得到
左边是平方数……慢着，诶？我刚才不也做了一样的事吗？这不是又绕回原路了吗？
不不，不要紧。等式左边的 f2 是平方数，右边含有质因数 2。因为等式右边应该也是平方数，所以另一个质因数 2 应该分配给两个因子中的一个，即 和 中的一个。
也就是说， 和 之中有一个是偶数。
和 是不是互质的呢？
打比方说，假设 和 不互质……类似这种检验已经做了无数回了吧。设它们有共同的质因数 p，则存在整数 J, K，它们之间的关系可以用下式表示。
将等式左右两边分别相加，分别相减，得到下式。
明白了。由以上等式可知，s 和 t 都是 p 的倍数。因为 s 和 t 都有共同的质因数 p，所以这与 s ⊥ t 相矛盾。因此可以得出结论： 和 互质。
， 和 中有一方是偶数， 和 还是互质的……因为没有共同的质因数，所以一方为偶数的话，另一方就为奇数。
这就意味着，像往常一样考虑分配质因数的话……偶数是“2 × 平方数”的形式，奇数则是“奇数的平方数”的形式。
用语言表达可能有些复杂。再导入构成“基本粒子”s, t 的“夸克”u, v 怎么样？设 u, v 是互质的自然数。
这样一来，“2 × 平方数”就能写成 2u2，“奇数的平方数”就能写成 v2 了。
和 中有一方是 2u2，另一方是 v2。
呼……
8.3.4 基本粒子和夸克的关系：用 u, v 表示 s, t
就快受不了像洪水一样泛滥的字母了。我又慢慢地把笔记啃了一遍，就夸克进行了一下整理。
关于 ， “基本粒子 s, t 和夸克 u, v 的关系”
， 是“互质”的。
， 中有一方是 2u2，另一方是 v2。
u 和 v 是互质的(u ⊥ v)。
v 是奇数。
很好，不错不错！ 不，糟了！
只有这点条件，根本分不出 ， 里谁是 2u2 谁是 v2。这就意味着……要分情况讨论。
我抱着头发愁。
情况 1：当 时——
情况 2：当 时——
变成分情况讨论了。
我呆呆地站在森林深处的分岔口处。
确实可以两条路都走。
不过，这样的话就得花两倍时间和精力了。
嗯……有没有什么好办法呢？我再一次回首向走过的路望去，看看有没有忘掉哪个关系式。
嗯？
m 呢？完全没有用到在“原子和基本粒子的关系”里出现的 m = e2 啊。m 应该和基本粒子 s, t 相关联才对啊！嗯……将关系式
左右两边分别相加再除以 2，可得
由此，可得出下式。
也就是说，下式成立。
很好，将 s 和 t 分别平方后再相加，就可以把情况 1 和 2 总结成一个式子了！这样就避免了分情况讨论！
哇！整理出了一个相当简单的等式，这就是基本粒子 e 和夸克 u, v 的关系式。不错不错……
诶？话说回来，我高兴个什么劲儿啊？
怎么能因为成功变形了几个等式就高兴呢！我想要的是——找出矛盾。
接下来会出现矛盾吗？
“基本粒子 e 和夸克 u, v 的关系”（接下来会出现矛盾吗？）
u ⊥ v
v 是奇数
嗯，虽然很不甘心，但已经困得不行了。
今天就到这里吧……