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《数学女孩2:费马大定理》2.5 家中

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夜晚。

家里人都已进入梦乡。我独自在书桌前思考数学。旁边空无一人,无人与我搭话。这是我一天中非常宝贵的时间。

听课是为了刺激自己学数学,读书也是为了研究数学。但是如果不留出时间充分开动脑筋,动手实践,听课和读书就完全没有意义了。

今天就沉下心来思考泰朵拉的问题吧。

“存在无数个基本勾股数吗?”

首先,试着列表总结一下基本勾股数,看看能不能发现什么。

2.5.1 调查奇偶性

我注意到 c 肯定为奇数,于是就试着把表里所有的奇数都圈上了圆圈。

在奇数上圈上圆圈

咦? ab 之中似乎总有一个是奇数。不过这是偶然?还是一般现象?我把心中的疑问记了下来。

问题2-3

存在 ab 皆为偶数的基本勾股数(a, b, c)吗?

我认真地思考着。

嗯,这个问题不难。绝对不存在 a, b 都是偶数的情况。因为如果假设 a, b 都为偶数,这样由 a2 + b2 = c2 这个关系式可知,c 也会是偶数。因为 a, b 都是偶数的话,a2 和 b2 都是偶数,两个偶数的和 a2 + b2 也是偶数。又因为 c2 就等于 a2 + b2,所以 c2 也是偶数。平方为偶数的数字只能是偶数,所以 c 是偶数。

也就是说,a, b 如果都是偶数,c 自然而然就为偶数。然而这违背了基本勾股数的定义:a, b, c 的最大公约数为 1。因为 a, b, c 全是偶数的话,a, b, c 的最大公约数就会大于等于 2。

由此可以说“ab 不能皆为偶数”。虽然不知道这能否成为解开泰朵拉卡片上问题的重要线索,不过这的确是一个重要的事实。

我徘徊在数学公式的森林中,对于我而言,重要的事实犹如用来做标记的丝带。“ab 不能皆为偶数”这个事实也是一条丝带。为了不时之需还是先绑在树枝上吧。说不定在探寻森林出口时就能派上用场。

解答2-3

不存在 ab 皆为偶数的基本勾股数(a, b, c)。

2.5.2 使用数学公式

嗯……基本勾股数中,a, b 不会皆为偶数,那么是否存在“皆为奇数”的情况呢?

问题2-4

存在 ab 皆为奇数的基本勾股数(a, b, c) 吗?

现在假定 ab 都是奇数,然后跟刚才一样调查奇偶性。

a 是奇数,则 a2 也为奇数。b 是奇数,则 b2 也是奇数。a2 + b2 = 奇数 + 奇数 = 偶数。由 a2 + b2 = c2 可知,c2 为偶数。c2 为偶数的话,c 也是偶数。也就是说,c 是 2 的倍数。2 的倍数的平方是 4 的倍数,因此可以得知 c2 是 4 的倍数。嗯,这想法有戏。然后,然后……这之后能推断出什么呢?

好吧,用数学公式吧。

假定 a, b 皆为奇数,如下所示,分别用自然数 J, K 来表示 a, b

将其代入勾股定理。

在这个式子左边的 4(J 2 - J + K2 - K) + 2 中,因为后面的 +2 是用 4 除不尽的,所以整个式子用 4 除不尽。

另一方面,右边的 c2 是 4 的倍数,也就是说可以被 4 整除。

左边用 4 除不尽,右边可以被 4 整除。这就构成了矛盾。

根据反证法,假定的“a, b 皆为奇数”不成立,因此 a, b 不能皆为奇数。

解答 2-4

不存在 ab 皆为奇数的基本勾股数(a, b, c)。

结果表明,ab 其中一方为奇数,另一方为偶数。换言之,ab 的奇偶性不一致。也就是说,只能存在“a 为奇数,b 为偶数”或“a 为偶数,b 为奇数”的情况。在此假设“a 为奇数,b 为偶数”。因为 ab 的奇偶性刚好相反,所以想求“a 为偶数,a 为奇数”的情况时,只需要交换 ab 的位置即可。

好了,继续吧!—— 话说,肚子有点饿了呢。

2.5.3 向着乘积的形式进发

我走到厨房,拿了一块妈妈珍藏的 GODIVA 巧克力。

说起巧克力,之前还从米尔嘉那拿了一块奇巧威化巧克力。我想起了当时她说的话。

“整数的结构,是由质因数表示的。”

确实,分解质因数就能明白整数的结构。但是怎么把 a2 + b2 = c2 分解质因数呢?嗯……不用质因数的乘积,只用“乘积的形式”表示行不行?

嗯。这下得到了 (c + a)(c - a) 的“乘积的形式”。但是 c + ac - a 都不一定是质数,所以这不能称为分解质因数。这条路走不通吗……

嗯……啊,我太傻了,又不是“总忘记条件的泰朵拉”,怎么把条件给丢了呢。计算前不是已经假定 a 为奇数,b 为偶数了吗。因为 a 为奇数,b 为偶数,所以 c 就为奇数。这样 ca 都是奇数,c + a 就是偶数, c - a 也是偶数。因为奇偶数之间普遍存在着以下关系。

奇数 + 奇数 = 偶数奇数 - 奇数 = 偶数

因为 ca 都是奇数,所以下述式子成立。

c + a = 偶数c - a = 偶数

c + ac - a 皆为偶数,b 也是偶数……。好,用数学公式把“偶数”表现出来看看。将 A, B, C 设为自然数,可写成如下形式。

等一下,这样 A 会不会变成负数呢?不,不会的。因为 a, b, c 是直角三角形的三条边,斜边 c 肯定长于直角边 a,也就是说 c > a。所 以 c - a > 0, 2A > 0。那么,来研究一下 A, B, C 吧。

这下就把勾股定理中自然数 a, b, c 的“和的形式”变换成了自然数 A, B, C 的“乘积的形式”。只调查一下 a, b, c 的奇偶性,就迈出了一大步。但是,还不知道这条路走得对不对。

B2 = AC 的左边是平方数,右边是乘积的形式。虽然化成了乘积的形式,不过下一步应该从哪边着手呢?

2.5.4 互质

B2 = AC 这个式子到底能说明什么呢?

我绕着房间来回转圈,冥思苦想,环视书架,突然脑中浮现出尤里踮着脚尖张望的背影。这时我耳边响起自己说过的那句话。

“就算是明摆着的事,最好也要认真总结下来哦。”

那么,总结一下明摆着的事吧。

  • c - a = 2A。

  • b = 2B

  • c + a = 2C

  • B2 = AC

  • ac 是互质的……

等等,ac 是互质的吗?根据基本勾股数的定义可知,a, b, c 的最大公约数为 1。然而就算三个数的最大公约数为 1,其中两个数的最大公约数也不一定为 1。比方说 3, 6, 7 这三个数的最大公约数为 1,但是把 3 和 6 单拿出来,它们的最大公约数是 3……

不,不对。因为存在 a2 + b2 = c2 这个关系式,所以在基本勾股数的情况下,可以说“ac 的最大公约数是 1”。

现在假设 ac 的最大公约数为 g,且 g 大于 1,那么存在自然数 J, K 使得 a = gJ, c = gK。然后……

这样 b2 就是 g2 的倍数,所以 bg 的倍数。也就是说,a, b, c 这三个数都是 g 的倍数。然而这不符合 a, b, c 三个数互质这一条件, 所以 ac 的最大公约数 g 大于 1 这个假设不成立,所以 ac 的最大公约数是 1,ac 是互质的。

同理可证 abbc 之间也是互质的。

现在已知 ac 互质。嗯……话说回来,此时 AC 呢? AC 也是互质的吗?

问题2-5

ac 互质,当 c - a = 2Ac + a = 2C 时,可以说 AC 互质吗?

我认为可以说 AC 互质。但是说“认为”太主观,必须证明才行。

这个命题,用反证法马上就能证明了啊。

反证法 —— 假定原命题不成立,从而推导出矛盾的方法。

要证明的命题是“AC 互质”,所以反过来假设“AC 不互质”。此时 AC 的最大公约数不为 1,即大于等于 2。把 AC 的最大公约数设为 d (d ≥ 2)。dAC 的最大公约数,所以既是 A 的约数,也是 C 的约数。反过来说,AC 都是 d 的倍数,因此存在满足以下关系式的自然数 A', C'

另一方面,下式是成立的。

那么就用 A'C' 来表示 ac

这次我来消去 c

a = d(C' - A') 可知“ad 的倍数”。

因为 ac 都是 d 的倍数,所以 d ≥ 2 是 ac 的公约数。换言之,即“ac 的最大公约数大于等于 2”。然而问题中给出的条件是 ac 互质,所以“ac 的最大公约数应该为 1”。好,这样就引出了矛盾。

出现矛盾,是因为最初假设了“AC 不互质”。因此,“AC 不互质”是不正确的,根据反证法可知“AC 互质”。

解答2-5

ac 互质,当 c - a = 2Ac + a = 2C 时,可以说 AC 互质。

至此已经求得“AC 互质”,这也是个重要的事实,是第二条标记用的丝带。

我将第二条丝带绑在树上,深呼吸。虽然有点累,不过还能在林中走一阵子。接下来,往哪儿走呢?

刚刚考虑的式子 B2 = AC 难不成相当于“平方数”等于“互质的两个整数的乘积”?这难道是路标吗?

2.5.5 分解质因数

现在舞台已经从 a, b, c 转向了 A, B, C

问题 2-6

  • A, B, C 是自然数。

  • B2 = AC 是成立的。

  • AC 互质。

此时,就没有什么有趣的东西吗。

“有趣的东西”是指什么啊,我忍不住吐槽自己。

好像我已经从原本的问题——“存在无数个基本勾股数吗”跑偏到外星球去了。

我又想起了米尔嘉的歌。

“整数的结构,是由质因数表示的。”

这样啊……将 A, B, C 分解质因数,会变成什么形式呢?以下这种形式吗?

把以上式子代入关系式 B2 = AC 观察一下。

喔?将 B2 分解质因数时,质因数 bk 全变成了 这种平方的形式。

原来是这样。将平方数分解质因数,就会发现里面包含偶数个质因数。

例如 182 这个平方数,分解得 182 = (2 × 3 × 3)2 = 22 × 34,里面包含质因数 2 和 3,2 和 3 的个数都是偶数。想想就觉得理应如此。

根据质因数分解的唯一分解定理 —— 分解质因数的方法是唯一的 —— 可知,B2 = AC 的左边和右边,质因数列是完全一致的。左边出现的质因数应该也会在右边的某处出现。也就是说——

啊,我明白了!

在此,第二条丝带——“AC 互质”这个条件有用了。AC 互质,也就是说 AC 的最大公约数为 1,换言之就是 AC 没有共同的质因数。考虑 B 的质因数 bk,则任意一个质因数 bk 不包含在 A 中,就包含在 C 中!

沿用刚才的例子 22 × 34,这个数可以表示为互质的两个自然数 AC 的乘积。如果有 1 个质因数 2 包含在 A 的质因数分解中,则所有的 22 都应该包含在 A 的质因数分解中。如果有 1 个质因数 3 包含在 A 的质因数分解中,则所有的 34 都应该包含在 A 的质因数分解中。某个质因数不能同时放在 AC 中。拿 22 × 34 来说,只能出现如下四种拆分方法。

AC 中不能出现相同的质因数。而且质因数的个数是偶数……这也就意味着,AC 都是平方数。

解答2-6

  • A, B, C 是自然数。

  • B2 = AC 是成立的。

  • AC 互质。

此时,AC 是平方数

厉害厉害,因为 AC 是平方数,所以可以用自然数 m, n 来表示,如下所示。

变量太多了很头痛,不过还可以前进。弄错了方向的话,再回头看看笔记就好。

因为 AC 没有共同的质因数,所以毫无疑问,mn 也是互质的。到头来 a, b, c 都可以用互质的 mn 来表示了!

首先,因为 a = C - A,所以

因为 a > 0,所以 m > n。又因为 a 是奇数,所以 mn 的奇偶性应该是不一致的。

接下来,因为 c = C + A,所以下式是成立的。

然后又因为 b = 2B,所以……这里需要计算一下。

因此,可知下式是成立的。

最后,a, b, c 就可以用互质的 mn 来表示。

反过来,像上面这样用 mn 的形式表示的一组数 (a, b, c) 肯定是基本勾股数。这个只要计算一下就能确定。

a, b, c 的互质关系也可以通过简单的计算得到。

研究奇偶性,留意着互质这个条件分解质因数……我得到了基本勾股数的一般形式。

基本勾股数的一般形式

互质的一组自然数(a, b, c),当满足关系式 时,可全部用以下形式表示(可以交换 a, b 的位置)。

  • mn 互质

  • 满足条件 m > n

  • m, n 有一个是偶数,另一个是奇数

这下,隐藏在基本勾股数中的结构就浮现出来了。只要明确到这一步,泰朵拉的问题自然也就迎刃而解了。

不同的质数之间是互质的,所以使用质数列,就应该可以创造出无数个基本勾股数。例如设 n = 2,m 为大于等于 3 的质数。把 m 依次定为 3, 5, 7, 11, 13 的话,从 mn 的组合中可以创造出不同的 (a, b , c)。因为质数有无数个,所以可以创造出无数个基本勾股数。

路途很漫长,不过没有行差踏错。

解答2-1

存在无数个基本勾股数。