在前面的小节中，我们讨论了核PCA相关的核心概念。现在根据之前总结过的实现核PCA方法的三个步骤，使用Python实现基于RBF核的PCA。借助于SciPy和NumPy的函数，我们将会看到，实现核PCA实际上很简单。
采用RBF核函数实现的PCA进行降维时存在一个问题，就是我们必须指定先验参数r需要通过实验来找到一个合适的r值，最好是通过参数调优算法来确定，例如网格搜索法，我们将在第6章中对其进行深入探讨。
1.示例一：分离半月形数据
现在，我们将实现的rbf_kernel_pca方法应用于非线性示例数据集。我们首先创建一个包含100个样本点的二维数据集，以两个半月形状表示：
出于演示的需要，使用三角符号标识的表示一个类别中的样本，使用圆形符号标识的表示另一类别的样本：
显然，这两个半月形不是线性可分的，而我们的目标是通过核PCA将这两个半月形数据展开，使得数据集成为适用于某一线性分类器的输入数据。首先，我们通过标准的PCA将数据映射到主成分上，并观察其形状：
很明显，经过标准PCA的转换后，线性分类器未必能很好地发挥其作用：
请注意，当我们仅绘制第一主成分的图像时（见右子图），我们分别将三角形和圆形代表的样本向上或向下做了轻微调整，以更好地展示类间重叠。
请注意，PCA是无监督方法，与LDA相比，它在使得方差最大化的过程中未使用类标信息。出于增强可视化效果的考虑，为了显示分类的程度，我们才在此使用了三角形和圆形符号。
现在我们将使用前一小节中实现的核PCA函数：rbf_kernel_pca：
可以看到，两个类别（圆形和三角形）此时是线性可分的，这使得转换后的数据适合作为线性分类器的训练数据集：
不过，对于可调整参数γ，没有一个通用的值使其适用于不同的数据集。针对给定问题找到一个适宜的参数值需要通过实验来解决。在第6章中，我们将讨论可自动进行参数优化等任务的技术。这里，我使用了一个已有的能够生成良好结果的值。
2.示例二：分离同心圆
在上一小节，我们演示了如何通过核PCA分离半月形数据。既然我们已经投入了如此多的精力去理解核PCA的概念，就再看一下另外一个关于非线性问题的有趣例子——同心圆。
代码如下：
同样，我们假设了一个涉及两个类别的问题，三角形和圆形分别标识不同类别的样本：
首先使用标准PCA方法，以便将其结果与基于RBF核的PCA生成的结果进行比较：
再一次发现，通过标准PCA无法得到适合于线性分类器的训练数据：
给定一个合适的γ值，来看看基于RBF的核PCA实现能否得到令人满意的结果：
基于RBF的核PCA再一次将数据映射到了一个新的子空间中，使两个类别变得线性可分：