第10章 量子几何
在大约10年的时间里，爱因斯坦凭他的一双手推倒了200多年老的牛顿体系，为世界带来了可以证明的崭新而深刻的引力理论。不论专家还是外行，都喜欢谈爱因斯坦在塑造广义相对论时所表现的卓绝才华和惊人的创造力，不过，我们也不应该忘记对他的成功有过极大帮助的历史环境。这里面影响最大的是黎曼19世纪的数学发现，他严格建立了描写任意维弯曲空间的几何方法。1854年在哥廷根大学那篇著名的就职演讲中，黎曼砸碎了平直空间的欧几里得思想锁链，开辟了一条“民主的”几何道路——用统一的数学方法处理各种不同的弯曲空间。正是黎曼的这种思想，为图3.4和图3.6那样的弯曲空间带来了定量的分析方法。爱因斯坦的天才在于他认识到这个数学宝贝仿佛就是为他实现引力新形象而定做的。他大胆宣言，黎曼几何的数学与引力的物理学是天生的姻缘。
然而，在爱因斯坦的绝妙发现约百年后的今天，弦理论为我们提供了一个引力的量子力学图景，不得不在距离尺度小到普朗克长度时修改广义相对论。因为黎曼几何是广义相对论的数学灵魂，所以它也必然需要改变，才可能忠实反映短距离下的弦理论景象。广义相对论断言宇宙的弯曲性质由黎曼几何描述，弦理论则认为只有我们在大尺度下看宇宙才会那样。在普朗克长度那样的小尺度下，一定会出现一种新的几何，来做新的弦理论物理学的伴侣；这门新的几何框架叫量子几何。
与黎曼几何的情形不同，弦理论家找不到什么现成的数学宝贝躺在哪个数学家的书橱里，可以拿来当量子几何。所以，物理学家和数学家们今天正轰轰烈烈研究弦理论，一点点筑成一门新的物理学和数学的分支。尽管完整的故事还有待别人来写，他们的研究已经揭开了许多弦理论所赋予时空的新的几何性质——爱因斯坦见了也会惊愕的性质。
黎曼几何
如果你在弹簧垫子上跳，垫子会因你的重量而塌陷、弯曲。陷得最深的是你落脚的地方，而边缘则没多大影响。如果在垫子上画一幅你熟悉的《蒙娜丽莎》，你会清楚地看到这个过程。当弹簧垫子上什么也没有时，蒙娜丽莎与寻常一样；但当你站在垫子上时，画会变形，特别是你脚下的部分，如图10.1。
这个例子触及了黎曼弯曲几何数学框架的根本特征。在高斯（Carl Friedrich Gauss）、罗巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky），波里亚（Janos Bolyai）等前辈数学家的基础上，黎曼证明了，物体上任何两个位置间的距离可以用来定量表示物体的弯曲程度。粗略地说，不均匀塌陷越大——距离关系偏离平直空间越远——物体的曲率越大。例如，你脚下的垫子陷得最深，在那个区域里两点间的距离关系扭曲也最严重。因此，垫子的这个区域有最大的曲率，这跟你预料的一样。蒙娜丽莎的脸在那儿经历了最严重的扭曲，她那永恒的谜一般微笑的嘴角露出一丝诡异的表情。
爱因斯坦采纳了黎曼的数学发现，为它赋予了精确的物理学意义。我们在第3章讲过，他说明了时空弯曲体现着引力的作用。不过，现在我们要更近地来思考这种解释。从数学上讲，时空曲率——与床垫的弯曲一样——反映了时空点之间的距离关系的扭曲。从物理学看，物体感觉的引力是这种扭曲的直接结果。实际上，如果让物体更小，当我们更深入地认识点的抽象的数学概念的物理意义时，物理和数学将走得更近。但是，弦理论限制了引力物理学能在多大程度上实现黎曼几何的数学体系，因为它限制了我们能让物体变得多小。当我们走近一根根的弦时，就不能走得更远了。弦理论没有传统的点粒子概念——这是它能为我们带来引力的量子理论的基本因素。这具体说明在根本上依赖于距离概念的黎曼几何结构，在超微观尺度下被弦理论改造了。
图10.1 当你站在“蒙娜丽莎床垫”上时，她的微笑扭曲了。
这些发现对广义相对论的宏观应用没有产生多大影响。例如，在宇宙学中，物理学家依然把星系当作一个个的点，因为它们的大小与整个宇宙比起来是小得可怜的。因此，以这种粗略的方式实现黎曼几何还是很精确的近似，广义相对论在宇宙学背景的成功也证明了这一点。但是，在超微观的领域，弦的延展本性意味着黎曼几何肯定不会是正确的数学形式。正如我们即将看到的，它将被弦理论的量子几何所取代，我们将面临一些崭新的意想不到的特征。
宇宙大舞台
根据宇宙学的大爆炸模型，整个宇宙大约是在150亿年前从一场奇异的大爆炸中轰然出现的。今天，我们看到——最早是哈勃发现的——大爆炸的“碎片”，那亿万个星系，还在向外奔流着。宇宙在膨胀。我们不知道宇宙是一直这样膨胀下去，还是有那么一天会慢慢停下来，然后反过来经历一场宇宙的大收缩。天文学家和天体物理学家正努力从实验来解决这个问题，因为答案引来一个原则上可以观测的量：宇宙的平均物质密度。
假如平均密度超过每立方厘米十万亿亿亿分之一（10-29）克的所谓临界密度——相当于宇宙中每立方米中有5个氢原子——那么足够强大的引力将穿透宇宙，把它从膨胀拉回来。假如平均密度比临界值小，引力作用会很弱，挡不住宇宙永不停歇的膨胀。（凭你自己的观察，你大概以为宇宙物质的平均密度远远超过了临界值。但别忘了，物质与金钱一样，会朝着某些地方聚集。拿地球或太阳系，或银河系的物质密度来作为整个宇宙的密度指标，就像拿比尔·盖茨（Bill Gates）的财产来作为全球财富的指标，我们知道多数人的财产与盖茨相比都是微不足道的，平均下来要小得多；同样，星系间存在着大量几乎真空的区域，它们会大大降低宇宙的平均物质密度。）
天文学家通过仔细研究星系在空间的分布，很好掌握了宇宙可见物质的平均量。结果比临界值小许多。但不论从理论还是实验，都有证据强烈表明宇宙还充满着看不见的暗物质。这些物质不参与恒星能源的核聚变，所以不会发光，不能走进天文学家的望远镜。现在还没人能认定暗物质的本性，更谈不上确定它存在的总量。看来，我们还说不清今天膨胀的宇宙会有什么样的命运。
为了讨论方便，让我们假定物质密度真的超过了临界值，在遥远未来的某一天，宇宙将不再膨胀，而开始坍缩。所有星系将慢慢靠近，随着时间的流逝，它们靠近的速度将越来越快，最后以疯狂的速度撞在一起。你应该看到，整个宇宙在挤压成一块不断收缩的物质。就像我们在第3章讲的那样，它从亿万光年开始收缩，速度在每时每刻增大，万物在不停地汇聚到一起，挤进一个星系大小的空间；它收缩到百万光年，然后到一颗恒星的大小，然后，一颗行星，一个橘子，一颗豆，一粒沙……照广义相对论，它还要继续收缩下去，成一个分子，一个原子，最后在无法抗拒的宇宙大挤压下，它没有了大小。根据传统理论，宇宙从没有大小的原初状态爆炸而来，如果有足够的质量，它又在大收缩中回到相同的终极挤压状态。
但是，我们现在很清楚，当距离尺度在普朗克长度附近或者更小时，量子力学使广义相对论的方程不再有效。我们必须运用弦理论。那么，既然广义相对论允许宇宙的几何形式可以任意小——这相应于黎曼几何的数学允许我们想象任意小的抽象的几何形式——我们自然会问，弦理论是如何改变这种图景的呢？我们很快会看到，弦理论以一种奇异的方式为物理学能达到的距离尺度确立了一个下限，它声称宇宙在任何空间维上都不可能收缩到普朗克长度以下。
这个结果是怎么来的？你可能忍不住要凭自己现在对弦理论的认识，大胆猜想一个答案。当然，你会说不论多少个点堆起来——点粒子就是那样的——体积总还是零。不过，假如粒子真是一根根的弦，它们在完全随机的方向坍缩在一起，就可能填满体积不为零的一团，仿佛一个橡皮筋卷起来的普朗克大小的皮球。如果你这样想，那就走对路了，但可能会忽略一些重要而微妙的特征——弦理论巧妙地利用这些特征发现宇宙应该有一个极限的小尺度；这些特征则具体说明了即将到来的新的弦物理学和它可能给时空几何带来的影响。
为解释这些重要问题，我们先来看一个例子，它忽略了无关紧要的细节，但又不损害新物理学的特征。我们不考虑弦理论的所有10个空间维——甚至我们熟悉的4个展开的时空维也不都考虑——我们还是回到那个花园水管的宇宙。在第8章引进这个二维宇宙是为了说明20世纪20年代卡鲁扎和克莱茵的思想。现在我们用它来作为一个“宇宙大舞台”。看看弦理论在这样简单的情形会有些什么性质，然后我们根据这样得来的知识去更好地认识弦理论所要求的所有空间维。为达到这个目标，我们想象管子宇宙的横向维度开始是圆鼓鼓的，然后慢慢收缩，圆圈越来越小，管子越来越细，趋向一根直线——这样我们看到一个简化的大挤压过程的缩影。
我们的问题是，这样的宇宙坍缩的几何和物理性质，在弦的宇宙和在点粒子的宇宙间会有什么显著不同的特征吗？
新特征
我们用不着远远地去寻找弦物理的什么基本新特征。一个在二维世界的点粒子可以像图10.2画的那样：在水管伸展的方向运动，在环绕的方向上运动，或者在两个方向之间运动。一根弦的小圈也能这样，不同的是，它会在运动中振动，如图10.3（a）。这点差别我们已经较详细地讨论过了：弦通过振动而产生诸如质量和力荷等特征。虽然这是弦理论的决定性的方面，但我们现在不谈它，因为我们已经懂得了它的物理意义。
我们现在感兴趣的是点粒子运动与弦运动的另一点差别，它直接依赖于运动所在空间的形态。因为弦是展开的物体，所以除了已经讲的那些，还有一种可能的形式：它可以像绳子一样缠绕着管子世界，如图10.3（b）。1弦将仍然在管子上滑行和振动，不过是以缠绕的形式运动。实际上，弦可以缠绕管子任何圈（也画在图10.3（b）），一样在滑行中振动。当弦这样卷曲时，我们说它处于缠绕式的运动。显然，缠绕式的运动是弦固有的可能运动形式，点粒子没有对应的状态。我们现在要来认识，这类性质全然不同的运动，对弦本身和它所缠绕的维度的几何性质会产生什么影响。
图10.2 在柱面上运动的点粒子。
图10.3 弦在柱面上能以两种不同方式运动——“缠绕式的”（b）和“非缠绕式的”（a）。
缠绕的弦
我们前面关于弦的运动讲的都是未缠绕的弦。缠绕空间的圆圈维的弦也几乎都有我们讲过的那些弦的性质。它们的振动也跟未缠绕的伙伴一样，决定着它们的观测性质。两者的基本差别是，缠绕的弦有一个极小质量，取决于卷缩维的大小和缠绕的圈数。弦的振动则决定超过极小质量的那部分质量。
我们很容易明白那极小质量是怎么来的。一根缠绕的弦有极小长度，那是卷缩维的周长和弦缠绕它的圈数所决定的。弦的极小长度决定它的极小质量：弦越长，它的极小质量越大，因为“东西更多”。由于圆周长正比于半径，所以缠绕弦的极小质量正比于缠绕圆周的半径。用爱因斯坦的E=mc2把质量同能量联系起来，我们也可以说束缚在缠绕弦内的能量正比于被缠绕的圆周的半径。（未缠绕的弦也有极小长度，否则便又回到点粒子的王国了。因为同样的理由，我们说未缠绕的弦也有一个极小但非零的质量。从某种意义说这是对的，但第6章讲的那种量子力学效应（再想想那个“价格游戏”却可能消除这部分质量——零质量的光子、引力子和其他无质量或几乎无质量的粒子就是这样产生出来的。从这点看，缠绕的弦是不一样的。）
缠绕弦的存在如何影响它所缠绕的空间维的几何性质呢？日本物理学家吉川敬治（Keiji Kikkawa）和山崎政实（Masami Yamasa-ki）在1984年第一次找到一个答案，令人惊讶而困惑。
我们来看管子宇宙大收缩的最后那“惊天动地”的一幕。照广义相对论的方式，卷缩的空间向着普朗克长度收缩，然后继续朝更小的尺度收缩下去；关于这一幕实际发生的事情，弦理论却有着迥然不同的说法。弦理论认为，卷缩维半径小于普朗克长度而且还在减小的管子宇宙所发生的所有物理学过程，与半径大的而且还在增大的管子宇宙所发生的过程，绝对是完全相同的！这就是说，当卷缩的空间向着普朗克尺度和更小的尺度坍缩时，一切的努力都被弦化解了，弦把空间几何扭转回来。弦理论证明，这种演化还可以说成是——或者更准确地解释为——卷缩的空间收缩到普朗克尺度，然后开始扩张。弦理论重写了短距离下的几何定律，原来似乎完全的宇宙坍缩现在好像成了宇宙反弹。卷缩的维可以收缩到普朗克长度，但因为弦的缠绕，再往下收缩实际却成了扩张。我们来看那是为什么。
弦的状态65
新的弦的缠绕形式的出现，意味着管子宇宙中弦的能量有两个来源：弦的振动和缠绕。根据卡鲁扎和克莱茵的传统，这两个来源都依赖于管子的几何，也就是说，依赖于卷缩圆圈的半径，不同的是带上了明显的弦的特征，因为点粒子是不可能发生缠绕的。于是，我们的第一件事情是准确地决定弦的振动和缠绕的能量贡献如何依赖于卷缩维圆周的大小。为此，我们遵照一种被证明是很方便的办法，把弦的振动分解为两个部分：均匀的振动和普通的振动。普通的振动指我们讨论过多次的寻常的振动，如图6.2画的那些振动；均匀的振动说的是一种更简单的运动：弦从一个地方到另一个地方的不改变形状的整体性滑动。所有的弦运动都是滑动与振动的组合，不过在现在的情形，我们很容易把它们区别开来。实际上，普通振动在我们的讨论中不会起多大作用，我们讲完要点以后再考虑它的效应。
我们有两点基本发现。第一点，弦的均匀振动（整体滑动）所激起的能量反比于卷缩维的半径，这是量子力学不确定性原理的直接结果：小半径的空间更严格束缚了弦的活动，从而通过量子力学的幽闭效应增大了弦运动的总能量。所以，当卷缩维的半径减小时，弦运动的能量必然会增大——这明显是反比性的特征。第二点，跟我们以前发现的一样，缠绕运动的能量正比而不是反比于维的半径。记住，这是因为缠绕弦的最小长度——从而也是最小能量——正比于那个半径。这两个事实说明，大的半径意味着大的缠绕能和小的振动能，而小的半径意味着小的缠绕能和大的振动能。
这将我们引向一个重要事实：任何一个卷缩维的圆周半径大的二维世界（或者说较粗的管子世界）都对应着一个半径小的伙伴，前者的弦的缠绕能等于后者的弦的振动能，而前者的弦的振动能等于后者的弦的缠绕能。由于物理学性质关心的是弦结构的总能量——而不在乎能量如何在缠绕和振动间分配——所以这两个几何形态不同的管子世界没有物理学的区别。于是，弦理论得出一个非常令人惊讶的结论：不论管子世界是“粗”还是“细”，它们之间不存在什么区别。
这是宇宙的一个“双赢”策略。假如你是位精明的投资者，你遇到下面的困惑时也会这么做的。假定在华尔街上市的两种股票——一种是做健康器械的，一种是做心脏瓣膜的——牢牢地相互关联着。它们今天的收盘价都是1美元一股。据可靠消息，如果一家股票涨了，另一家就会跌；而且，那位消息灵通人士——他是完全信得过的（尽管他的做法有点儿违规）——告诉你，明天这两家股票收盘时的价格肯定会互为反比。就是说，如果一家的收盘价是2美元，则另一家该是1/2美元（50美分）；一家是10美元，另一家就是1/10美元（10美分），等等。但是，那人不能告诉你哪家高，哪家低。你该怎么办呢？
你会一下子把所有的钱都投进来，平均分配到两家公司的股票。因为通过几个例子你就能计算出结果，不论第二天股市如何，你都不会赔的。最坏的情形也能保住本钱（两种股票都是1美元1股）；但只要股价有变化——像你的内线说的那样——你总会赚钱的。例如，健康公司在4美元收盘，而心脏瓣膜公司在1/4美元收盘，两者之和是4.25美元，超过了前一天的2美元。而且，从净赚的钱看，你用不着管哪家高哪家低。如果你只关心总的收入，那么两家公司的不同状况并不会对结果发生影响。
弦理论中的能量也处于类似的情形。弦的能量也是两个来源（振动的和缠绕的），两者对总能量的贡献一般是不同的。但我们在下面会看到，不同的几何形态构成的一对——一个产生高缠绕/低振动能，一个产生低缠绕/高振动能——在物理上是没有区别的。另外，在股票的情形，除了总收入以外，两种股票是可以区别的；但两种弦的图景是绝对没有物理学区别的。
实际上，在股票市场也含有类似情形。不过，我们应该考虑另一种投资方式：你没有将钱平均投向两家公司，而是买了1000股健康公司，3000股心脏瓣膜公司。这时候，你的总收入与哪家公司收盘高低有关系。例如，健康收盘10美元，心脏收盘1/10美元时，你原来投入的4000美元现在成了10300美元；如果两家收盘情况相反，则你的股票价值该是30100美元——多多了。
不管怎么说，反比例的股价一定会产生下面的结果。假如你有个朋友，她买股票跟你完全“对着来”——3000股心脏瓣膜公司的，1000股健康公司的。于是，在健康收盘高（10美元）的情形，她的股值是30100美元，跟你在相反情形的股值一样；同样，当心脏瓣膜收盘高时，她的股值为10300美元，还是跟你在相反情形的股值一样。这就是说，从总的股值看，两个股价的高低更替的影响将完全被两种股票数量的交换所抵消。
记着最后这一点，我们现在回到弦理论，在一个具体例子中考虑可能的弦能量情况。假定管子世界的圆圈半径是普朗克长度的10倍，我们记作R=10。弦可以缠绕管子任意多圈，如1圈、2圈、3圈，等等。弦缠绕管子的圈数叫缠绕数。缠绕的能量决定于缠绕弦的长度，正比于半径与缠绕数的乘积。另外，任何缠绕的弦都能振动，我们现在讲的整体的均匀振动的能量与半径成反比，也就是半径的倒数1/R（这里是普朗克长度的1/10）的整数倍。我们称这个整数因子为振动数。2
你可以看到，这种情形与我们在华尔街遇到的情形很相似。在这里，缠绕数和振动数恰好相应于两家公司股票的份额，而R和1/R则类似于两种股票的收盘价格。现在，我们可以像计算股值那样，通过缠绕数、振动数和半径来计算弦的总能量。表10.1列举了部分弦状态的总能量。表中还列举了在管子半径R=10情况下我们选择的缠绕数和振动数。
缠绕数和振动数可以是任何整数，所以完整的表是无限长的。不过，就我们的讨论来说，这几行有足够代表性。从表中可以看到，我们选择的是高缠绕能和低振动能的状态：缠绕能的因子为10，而振动能的因子为1/10。
现在想象管子收缩，半径从10缩到9.2、7.1……直到1.1、0.7，最后收缩到0.1（1/10），停下来。我们现在讨论这种情形。对这个几何特征不同的管子宇宙，我们可以得到类似的一个弦能量表：现在缠绕能的因子是1/10，而振动能的因子是它的倒数10。结果是表10.2。
表10.1 在图10.3所示宇宙中运动的弦振动和缠绕的例子，缠绕维的半径为R=10。振动能的因子为1/10，缠绕能的因子为10，从而得出所列的总能量。能量单位为普朗克能量。例如，表中最后一列10.1的意思是10.1倍普朗克能量。
乍看起来，两张表是不同的。但仔细看看，除了数字的次序不同外，两表的“总能量”是完全相同的。为在表10.1中找到与表10.2的某个能量对应的值，只需要交换缠绕数和振动数。就是说，当卷缩维的半径发生改变时（如从10到1/10），振动与缠绕所扮演的角色也相互替换了。于是，只要我们考虑弦的总能量，卷缩维的大小就不会产生什么影响。像那两种股票价格的变化完全被股票份额的交换所补偿一样，把半径从10调换为1/10的结果，也将通过交换振动数和缠绕数而消化。而且，这种结论对任何半径和它的倒数都是成立的，我们选择R=10与R=1/10不过是为了简单方便。3
表10.2 同表10.1，但半径为R=1/10。
表10.1和表10.2是不完整的，原因有两个。第一个我们讲了，弦的振动数和缠绕数可以有无限多的可能，而我们只列举了几个。这当然不会有什么问题——我们只要有耐性，想把表列多长都行。我们会发现，表中的关系总是成立的。第二个原因是，除缠绕能外，我们只考虑了来自弦的均匀振动的能量。现在，我们要把普通振动也考虑进来，它们为总能量带来另一份贡献，而且还决定着弦携带的力荷。但更重要的是，这些贡献与半径大小无关。这样，即使我们在表10.1和表10.2里考虑了这些更具体的特性，两个表还是相互对应的，因为普通振动的贡献在任何情况下都是相同的。于是，我们可以说，半径为R的管子世界里粒子的质量和力荷与半径为1/R的情形是完全一样的。因为质量与力荷决定着基本的物理现象，所以在物理上我们不能区别这两种不同几何的宇宙。一个宇宙做的实验在另一个宇宙中有一个对应的实验，它们将导出相同的结果。
争论
乔治和格雷茜走进二维管子世界，成了二维生命，做了那里的物理学教授。两人各建起一个与对方竞争的实验室，都宣布自己确定了卷缩维的半径。两人的实验精度一贯令人佩服，但奇怪的是这回他们的结果却是矛盾的。乔治说半径R=10倍普朗克长度，而格蕾茜宣称R=1/10倍普朗克长度。
“格蕾茜，”乔治说，“据我的弦理论计算，我知道，假如圆圈维的半径是10，我就能预期看到表10.1所列的那些能量的弦。我已经用新的普朗克能量加速器做了好多实验，已经证实了这个预言。所以，我相信，我敢说那圆的半径是R=10。”格蕾茜替自己说了差不多同样的话，不过她的结论是她发现了表10.2所列的能量，从而证明半径R=1/10。
格蕾茜灵机一动，让乔治看到两个表虽然次序不同，内容却是完全一样的。可乔治总要迟钝一些，他问，“怎么会这样呢？根据量子力学和缠绕弦的基本特征，我知道不同的半径会产生不同的弦能量和力荷，如果承认这一点，那我们的半径应该是相同的。”
格蕾茜根据她对弦物理学的新发现告诉乔治：“你说的差不多是对的，可不完全。一般情况下，不同的半径会产生不同的能量；但在特殊情形，例如两个半径互为倒数——10与1/10——则允许的能量和力荷实际上是完全一样的。你看，你说的缠绕，我说是振动，而你说的振动，我说是缠绕。大自然可不管我们怎么说，物理学决定于基本的物质构成——粒子质量（能量）和它所带的力荷。不论半径是R还是1/R，弦理论中基本物质构成的这些性质是完全一样的。”
乔治费好大气力才明白过来，他回答说：“我想我明白了。虽然你我给出的弦的具体描述有所不同——要么缠绕卷缩维的方式不同，要么振动行为不同——但它们表现的物理学特征却是完全相同的。因为宇宙的物理学性质依赖于这些基本物质组成的性质，所以在半径互为反比的两个宇宙间没有什么不同，也没有办法区分它们。”说得完全正确。
三个问题
现在你可能会问：“你看，假如我是管子世界里的一个小生命，我可以很简单地拿皮尺去测量管子的周长，从而毫无疑问地确定它的半径——没有假设，也没有但是。那么，不同半径而又不可分辨的两个世界有什么意思呢？另外，弦理论不是排除了普朗克长度以下的尺度了吗，为什么我们还在谈多少分之一普朗克长度的半径的维度呢？最后，虽然我们在讲二维的管子世界，但谁会把它当真呢？——当我们把所有的维都考虑进来时，它还能有什么意义吗？”
我们先来看最后这个问题，答案会把我们引向前两个问题。
虽然我们在二维管子世界里进行讨论，仅限于1个展开维和1个卷缩维，但这样做只是为了简单。如果我们有3个展开维和6个卷缩维——后者是所有卡-丘空间里最简单的形态——那些结论也是完全一样的。每个卷缩维有一个半径，它与半径为倒数的维将生成在物理学上完全相同的宇宙。
我们甚至还可以把这个结论推得更远。在我们的宇宙中，可以看到三个展开的空间维，据天文学家的观测，它们看起来都延伸到大约150亿光年（1光年大约是9万亿千米，所以这延伸的距离大概是1.4亿亿亿千米）。我们在第8章讲过，没人知道那距离以外在发生什么。我们不知道它们是继续无限延伸下去，还是把自身卷缩成超出我们望远镜“感觉能力”的一个巨大的圆。假如它们是卷曲的，那么在太空远行的宇航员不断朝着同一个固定的方向走下去，就能最终绕宇宙一圈——像麦哲伦（Magellan）环游地球那样——回到原来出发的地方。
看来，我们熟悉的展开维也可能是些圆圈，从而也像弦理论说的那样，R与1/R的世界是不可区别的。具体说，这些圆的半径应该是刚才讲的150亿光年，是普朗克长度的10万亿亿亿亿亿亿亿（1061倍），而且还在随宇宙膨胀而增大。如果弦理论是对的，这个宇宙与一个展开维的半径只有1/R=1/1061=10-61普朗克长度的宇宙在物理学上是一样的！这是在弦理论下我们熟悉的宇宙空间的另一幅图景。实际上，在那个“倒数世界”，小圆圈还将随时间变得更小。因为R增大，1/R自然会缩小。现在我们似乎真的走到尽头了。这能是真的吗？我们六英尺的身躯怎么可能“活”在这样难以置信的微观世界里？那么“一丁点儿”宇宙怎么能在物理上与我们看到的茫茫太空相同呢？而且，我们现在也自然走近上面提的第二个问题：弦理论似乎剥夺了我们探索普朗克尺度以下的距离的能力。但是，假如圆半径R大于普朗克长度，它的倒数1/R自然只有普朗克长度的若干分之一。那么结果呢？答案将关联我们的第一个问题，而且揭示了空间和距离的重要而奇妙的一面。
两个距离
距离是我们认识世界的一个十分基本的概念，似乎很简单，人们常常忽略它还有玄之又玄的地方。狭义和广义相对论曾给我们关于空间和时间的概念带来过惊人的影响，弦理论也生出一些新奇的特征，这些经历使我们今天在距离的概念上也更小心翼翼了。物理学中最有意义的定义是那些可操作的——就是说，定义为所定义的东西提供了至少是原则上的测量方法。毕竟，不管概念如何抽象，有了可操作的定义，我们就能在实验中揭示它的意义，测量它的大小。
我们如何才能得到一个可操作的距离的定义呢？在弦理论的背景下回答这个问题会令人大吃一惊的。1988年，布朗大学的布兰登伯格（Robert Brandenberger）和哈佛大学的瓦法两位物理学家指出，假如某个空间维是圆，那么在弦理论中存在着两个不同然而相关的可操作定义。每个定义都有一套不同的测量距离的实验程序，而测量的基础大致说来却是一个很简单的原理：如果探针以已知固定的速度运动，我们可以根据它经过某个距离的时间来确定那段距离的长度。两个定义的差别在于实验过程所选择的探针不同。第一个定义用的是未缠绕在圆圈维的弦，而第二个定义用的是缠绕的弦。我们看到，弦理论中存在两种不同的可操作的距离定义，原因正在于所用的基本探针具有延展的本性。在点粒子理论中没有缠绕的概念，所以只有一种距离定义。
两种操作过程会有怎样不同的结果呢？布兰登伯格和瓦法的发现既令人惊奇，也难以捉摸。借助于不确定性原理，我们大概能明白那答案的意思。未缠绕的弦可以自由沿着圆周滑动，长度正比于半径R。根据不确定性原理，弦的能量正比于1/R（回想一下我们在第6章讲过的探针的能量与它对距离敏感性的关系）。另一方面，我们知道缠绕的弦有着正比于R的极小能量，于是不确定性原理告诉我们，它对距离的敏感程度正比于R的倒数，1/R。将这个思想用数学公式表达出来，我们就能看到，如果拿它们来测量空间的卷缩维的半径，那么未缠绕的弦将测得R，而缠绕的弦将测得1/R。这里，我们的测量还是像从前一样，以普朗克长度为单位。两个实验都可以说自己的结果是圆周的半径——弦理论教导我们的是，以不同探针来测量距离可以得到不同的结果。实际上，这个性质可以推广到所有长度和距离的测量，而不仅限于确定卷缩维的大小。缠绕与未缠绕的弦探针所获得的结果将互成反比。4
如果宇宙真像弦理论描绘的那样，我们为什么没在寻常的生活和科学活动中遇到过那两种可能的距离概念呢？我们讲距离的时候，似乎总是从经验来讲的，只有一种距离，没有任何线索暗示还藏着另一种距离的概念。我们为什么会错过那个可能呢？原来，尽管在我们的讨论里R与1/R是高度对称的，但当R（从而1/R也）远远偏离1（当然还是指1个普朗克长度）时，两个可操作的定义中有一个是极难实现的（虽然还有一个是极易实现的）。大概说来，我们总是操作那个容易的，完全不知道还有另一种可能。
两种方法难易悬殊的原因在于所用探针的质量大不相同——要么缠绕的能量高，要么振动的能量高。假如半径R（从而1/R也）远离普朗克长度（即R=1），这时候，所谓“高”能相应于重得惊人的探针——例如比质子重百亿亿倍，而所谓“低”能，差不多就是比零质量重一点儿的探针。在这样的背景下，两种方法便有着天壤的难易差别。因为，光是产生那样的重弦形态也远远超越了我们今天的技术能力。因此，在实践中，只有那个涉及较轻的弦形态的方法才有技术上的可能，那也是我们在讨论距离问题时一贯用的方法。这种方法培养了我们的直觉，从而也符合我们的直觉。
把实际抛到一边，在弦理论主宰的宇宙中，我们可以自由选择一种方法来测量距离。天文学家测量“宇宙的大小”，是通过检验穿过太空碰巧进入他们望远镜的光子；显然，光子在这儿可真是光光的没有质量的弦。结果，光子测得的距离是1061倍普朗克长度，前面已经说过了。假如我们习惯的那3个空间维也是卷缩的，假如弦理论是正确的，那么从原则上讲，用迥然不同的（当然现在还没有的）仪器的天文学家，应该能测量重弦缠绕的空间有多大，他们将发现那距离是光子测得距离的倒数。在这个意义上，我们可以认为宇宙既可能像我们寻常感觉的那么大，也可能小得可怜。根据轻弦模式，宇宙是巨大而膨胀的；而据重弦模式，宇宙是渺小而卷缩的。这里没有矛盾，而是存在着两种不同然而却同样合理的距离定义。由于技术的限制，我们很熟悉第一种定义，而不管怎么说，两个概念都是一样有效的。
现在我们来回答前面的问题，大人如何能在小宇宙中生存？当我们测量一个人的身高，说他高1.8米时，我们一定在用轻弦模式。为比较他们与宇宙的大小，我们必须用同样的过程来测量宇宙，上面说过，那是150亿光年，比1.8米大多了。这样的人类如何能活在重弦模式所测量的“小”宇宙中呢？这是一个没有意义的问题——是在拿苹果同橘子比。现在我们有了两个距离概念——轻弦探针的和重弦探针的——我们也该在相同的模式下比较测量结果。
最小尺度
慢慢往前走，我们就要到头了。如果我们坚持用“容易的办法”来测量——也就是用最轻的弦模式来测量——结果将总是大于普朗克长度。为看清这一点，我们考虑假想的三维空间的大收缩，并假定我们熟悉的那三维是圆的。为讨论方便，假定在思想实验的开始，未缠绕的弦模型是轻的，我们用它来测量宇宙，发现它有一个巨大的半径，正在随时间而收缩。当它收缩时，未缠绕的弦变得越来越重，而缠绕的弦越来越轻。当半径一路收缩到普朗克长度——即R=1时——缠绕的弦与振动的弦正好有相同的质量。这时，两种测量距离的方法都同样难以实现；而且，它们将得出相同的结果，因为1也是它自己的倒数。
半径继续往下收缩，缠绕的弦将变得比未缠绕的更轻，这样，它们自然成为我们用以测量距离的“更容易的方法”。根据这种测量，结果是较重的未缠绕弦的结果的倒数，即半径大于1个普朗克长度，并且还在增大。这不过反映了，当未缠绕弦测量的R收缩到1，并继续收缩时，缠绕弦所测量的1/R将增大到1并且继续增大。于是，当我们决意总以轻弦模式这种“更容易”的方法来测量距离时，我们遇到的最小半径就是普朗克长度。
因为轻弦模式测量的宇宙半径总是大于普朗克长度的，一个特别的结果就是，我们避免了一个会趋向于零的大收缩。根据最轻弦模式的测量，宇宙半径不会朝比普朗克长度更小的方向收缩，当它收缩到普朗克长度时，它会反过来开始增大。反弹的一幕替代了无限的大挤压。
用轻弦模式测量距离，符合我们关于长度的传统概念——那是早在弦理论发现以前就形成的了。如我们在第5章看到的，正是因为这个距离概念，我们才在普朗克尺度以下的距离遇到了不可克服的剧烈的量子波澜。我们又一次看到，弦理论凭它的两个互补的距离概念避免了那可怕的超短距离。在广义相对论的物理学框架和相应的黎曼几何的数学框架下，距离的概念只有一个，它可以是任意小的数值。在弦理论的物理学框架和相应的新生的量子几何的领域里，距离的定义有两个。小心翼翼地运用这两个定义，我们发现有一个概念在大尺度下，与我们的直觉和广义相对论都是相容的，但在小尺度下却迥然不同。具体说来，小于普朗克尺度的距离是不可能达到的。
上面讲的有点儿玄，我们把关键的一点再强调一遍。假如我们硬是不在乎什么“难”与“易”的距离测量方法，而要坚持用未缠绕的弦来测量，那么当R收缩到普朗克长度以下时，我们似乎真能走近比普朗克尺度更小的距离。但上面的讨论告诉我们，那所谓“更小的距离”需要小心来理解，因为它可以有两种不同的意思，而只有一种符合我们的传统观念。在这里，当R收缩到普朗克长度以下时，如果我们还坚持用未缠绕的弦（这时它们已经变得比缠绕的弦更重了），那我们实际上是在用“难”的方法来测量距离，从而那“距离”的意思不满足我们标准的用法。然而，这里讨论的绝不仅仅是语义学的问题、传统习惯的问题或者测量的可行性问题。即使我们愿意用非标准的距离概念来描写一个比普朗克长度更小的宇宙，我们遇到的物理学——如前几节讨论的——并没有什么不同，还是那个大半径宇宙（传统距离的表义下）的物理学（举例来说，就像表10.1与表10.2之间对应的物理学）。真正有意义的正是物理，而不是语言。
布兰登伯格、瓦法和其他一些物理学家根据这些思想重新写下了宇宙学定律，在那里，大爆炸和可能的大收缩都不再牵扯一个零尺度的宇宙，而是每个维都是普朗克长度的宇宙。这当然是一个诱人的图景，原来那个起源于并可能坍缩成一个无限致密的点的宇宙所具有的那些数学的、物理的和逻辑的难题都烟消云散了。尽管很难想象整个宇宙卷缩在一个普朗克尺度的小球里，但比起想象它挤压成一个没有大小的点，还是好得多了。我们将在第14章讨论，弦宇宙学还是一个年轻的领域，不过希望很大，很可能为我们带来这样一个比标准大爆炸模型更容易理解的模型。
结论普遍吗
如果空间维不是圆，结果会怎样呢？那些关于弦理论的最小空间距离的惊人结论还能成立吗？谁也说不准。圆形维度最基本的特征是允许弦的缠绕。只要空间维——不论什么形状——允许弦的缠绕，我们讲的大多数结论应该还是成立的。但是，假如有两维是球形的呢？这种情况下弦不能“牢牢”绕在球面上，因为它总会“滑落下来”，像一根橡皮筋从篮球上滑下来。另外，弦理论限定了这些维的收缩尺度吗？
大量研究表明，答案有赖于一个完全的空间维是卷缩的（如我们这一章讲的），还是在坍缩的孤立的“一小块”空间（我们将在第11章和第13章讨论）。弦理论家普遍相信，不论形状如何，只要我们是在让一个完整的空间维发生收缩，它就像圆的情形一样，有一个极限的尺度。确立这一观念是未来研究的一个重要目标，因为它将直接影响弦理论的诸多方面，包括它的宇宙学意义。
镜像对称
爱因斯坦通过广义相对论在引力的物理学与时空的几何学之间建立了联系。乍看起来，弦理论巩固并拓宽了物理与几何的联系，因为振动弦的性质——它们的质量和所携带的力荷——基本上取决于空间卷缩部分的性质。不过，我们刚开始看到了，量子几何这一弦理论的几何物理学还有些奇奇怪怪的东西。在广义相对论和“传统”几何学中，半径为R的圆与半径为1/R的圆是绝对不同的；然而在弦理论中，它们在物理上却是不可区别的。这使得我们敢雄心勃勃地往前走得更远，我们想，也许还有差别更大的空间几何形式——不仅大小不同，形态也不同——但在弦理论中却找不出它们有什么物理的差别。
1988年，斯坦福大学直线加速器中心的狄克松（Lance Dixon）有一个关于这方面的重大发现，欧洲核子中心（CERN）的勒克（Wolfgang Lerche）、哈佛的瓦法和当时在麻省理工学院（MIT）的瓦纳（Nicholas Warner）也发现了同样的东西。这些物理学家在基于对称性考虑的美学原则下提出一个大胆猜想：为弦理论的卷缩维选择的两种不同卡-丘空间，也许能生成相同的物理。
为说明这种奇异的可能性如何能够发生，我们回想一下，卡-丘空间的孔洞数决定着弦能产生多少族可能的激发态。这些孔洞像我们见过的单孔或多孔的环，如图9.1。我们在纸上画的二维图有一大缺点，不能表现一个六维的卡-丘空间可以具有不同维的孔洞。虽然我们画不出这些孔，但可以用大家理解的数学来描述它们。关键的一点是，源自弦振动的粒子族的数目只依赖于孔的总数，而与某个维的孔数无关（因此，我们在第9章的讨论里并不在意孔的类型有什么不同）。接下来我们想象两个卡-丘空间，它们在不同的维有不同数目的孔，但孔的总数却是相同的。由于不同维的孔数不同，所以这两个卡-丘空间有不同的形态。但因为孔的总数相同，所以它们生成的宇宙有相同数目的粒子族。当然，这不过是一个物理性质。如果要一切物理性质都相同，那要求就严格得多。不过，这一点性质至少能说明狄克松-勒克-瓦法-瓦纳猜想很可能是对的。
1987年秋，我来到哈佛大学物理系做博士后，我的办公室刚好在瓦法的走廊下面。我的学位论文研究的就是弦理论中卷缩卡-丘空间的物理和数学性质，所以瓦法常向我通报他在这方面的工作。1988年秋的一天，他经过我办公室时停下来告诉我，他和勒克、瓦纳有了那个猜想。我很感兴趣，但也有些怀疑。兴趣来自这样的认识：如果猜想是对的，它将在弦理论的研究中开辟一条新路；而怀疑来自我的担心：猜想是一回事，证实那些理论性质却是另一回事。
在接下来的几个月里，我总在考虑他的猜想。坦白地说，我一半认为它是错的。然而，奇怪的是，我与普里泽（Ronen Ples-ser）做过的一个看似不相干的项目令我很快完全改变了看法。普里泽那时是哈佛的研究生，现在在魏茨曼研究所和杜克（Duke）大学，我们曾满怀热情地想发展一种方法，从一个初始的卡-丘空间出发，用数学操作生成一种尚未知晓的卡-丘形态。我们特别感兴趣的是所谓的轨形变换（orbifolding）技术，先前是由狄克松、哈维（Jeffrey Harvey，在芝加哥大学）、瓦法和惠藤在20世纪80年代中期发展起来的。粗略地讲，就是将原来的卡-丘空间里不同的点黏在一起，按一定的数学法则生成一个新的卡-丘空间。图10.4示意了这样一个过程。这幅图背后的数学是很可怕的，因为这一点，弦理论家只是对最简单的空间形态——如图9.1的高维多孔面包圈——考察了这种技术的应用情况。不过，普里泽和我发现，革普纳（Doron Gepner，那时在普林斯顿大学）的一些美妙发现也许能提供一个有力的理论框架，把轨形变换技术推行到如图8.9那样复杂的卡-丘空间。
经过几个月的紧张探寻，我们得到一个令人惊讶的结果。如果以恰当方式把某些特殊的点黏接在一起，生成的卡-丘空间将以一种奇异的方式表现出与原来空间的区别：新空间的奇数维的孔数等于老空间的偶数维的孔数，反过来也对。特别的是，这意味着孔的总数——从而粒子族的数目——是相同的，尽管两个奇偶相对的空间形态和基本的几何结构当然是完全不同的。5
图10.4 所谓环形变换技术是这样一个过程：通过将初始卡-丘空间的不同点黏接在一起而生成一个新的卡-丘空间。
结果显然与狄克松等人的猜想相关，这令我们很兴奋。接下来，普里泽和我又去研究一个关键问题：那两个卡-丘空间除了粒子族的数目相同而外，别的物理性质也相同吗？经过两个多月仔细而艰难的数学分析，其间还得到我的学位论文导师、牛津大学的罗斯（Graham Ross）和老朋友瓦法的启发和鼓励，普里泽和我最后得到了答案：差不多可以肯定是那样的。因为一个与交换奇偶性有关的数学理由，我们以镜像流形来称这些在物理上等价而几何形态不同的卡-丘空间。6每一对镜像卡-丘空间当然并不是我们平常讲的字面意义的镜像。尽管它们有不同的几何性质，在用于弦理论的额外空间时，却能生成同一个物理的宇宙。
发现这个结果后的几个星期，我们是在焦虑中度过的。普里泽和我都明白，我们正在弦理论的一个浪头上，我们证明，爱因斯坦建立的几何与物理学的紧密联系在弦理论中焕然一新了：在广义相对论中意味着不同物理性质的不同几何形态，在弦理论中却可能生成相同的物理。但是，假如我们错了呢？假如那些物理性质以我们忽略了的某种微妙方式产生变化呢？我们把结果告诉了丘成桐，他礼貌然而严厉地指出，我们一定在哪儿错了；他说，从数学观点看，我们的结果太离奇了，不会是真的。他的意见使我们很犹豫。如果一个小结论或不会太引人注意的结论，犯点儿错误也许还算不得什么；而我们的结果是在一个新方向上迈出的意想不到的一步，当然会引起强烈反响。如果它错了，所有的人都会知道。
最后，我们把文章反复检查了，越来越有信心，就拿出去发表。几天以后，我正坐在哈佛的办公室时，电话响了。那是得克萨斯大学的坎德拉斯打来的。他开口就问我是不是坐好了。当然。接着他告诉我，他和两个学生林克（Monika Lynker）和施姆里克（Rolf Schimmrigk）发现了一样东西，会让我从椅子上蹦起来。他们仔细考察了计算机生成的大量卡-丘空间例子，发现这些空间几乎都是成对出现的，两个空间的差别仅在于奇数维和偶数维的洞的数目相互交换了。我告诉他，我还坐得好好的——普里泽和我已发现了相同的结果。坎德拉斯和我们的结果原来是互为补充的：我们走得远一点，证明了镜像空间生成的物理学是一样的；而坎德拉斯和他的学生证明大量的卡-丘空间都以镜像对的形式出现。通过这两篇文章，我们发现了弦理论的镜像对称。7
镜像对称的物理学和数学
爱因斯坦在空间的几何与物理的现象间建立的刚性而惟一的联系，在弦理论中获得了解放，这是一个惊人的“范式的转移”。但这些发展所带来的远不只是哲学态度的改变。镜像对称还特别为认识弦理论的物理和卡-丘空间的数学提供了强大的工具。
在所谓代数几何领域从事研究的数学家，在弦理论发现很久以前就一直在为纯数学的理由研究卡-丘空间。他们发现了这些空间的许多具体性质，没有一个显得有未来的物理意义。不过，卡-丘空间的某些性质已经证明是很困难的——基本上不可能完全揭示出来。但弦理论的镜像对称的发现极大改变了这种局面。大致说来，镜像对称说的是，原来认为毫不相干的特殊的卡-丘空间对现在被弦理论紧紧联系在一起了。联结它们的是一个共同的物理宇宙，任选一个空间作为卷缩维的空间形式，都将生成这样的宇宙。这种意外的内在联系提供了一个新的有力的物理学和数学工具。
举例来说，假如你在忙着计算与卷缩维的某个卡-丘形式相关联的物理性质——如粒子的质量和力荷。你并不特别关心计算结果与实验的联系，因为我们已经看到，现在做那些实验还有大量理论和技术的障碍。实际上，你是在靠思想实验做计算，关心的是假如选择了某个卡-丘空间，宇宙应该像什么样子。开始计算的时候，一切都还顺利；但接着，你的计算遇到了难以逾越的障碍。没人能帮你，世界上最好的数学家也不知道该怎么往下算。你迷失了方向。但是你后来发现这个卡-丘空间有一个镜像伙伴。因为这两个空间生成的弦物理是完全相同的，你意识到自己可以自由地随便拿一个来做计算。于是，你用原来那个卡-丘空间的镜像伙伴重新做刚才那些艰难计算，你相信计算的结果——物理——应该是一样的。起初你可能认为重新做的计算也会像原来那么难，但你却惊喜地发现，两个计算虽然结果会是一样的，但具体形式却大不相同。原来的某些可怕的计算，在镜像的卡-丘空间里变得非常简单了。为什么会这样呢？这不是两三句话就能说明白的，不过，至少对某些计算来说，几乎肯定是这样的，而且计算的难度可以大大降低。它的意义自然是清楚的：你从迷失的方向里走出来了。
这多少有点儿像下面的例子。假设有人陪你数一堆橘子，橘子随便堆放在一只大果箱里，那箱子3米长，3米宽，3米高。起初，你一个个地数，但很快发现这太累人了。幸运的是，这时来了一个朋友，他是看到橘子送来的。他告诉你，橘子原来整整齐齐堆放在小箱子里（他正好拿着一只那样的箱子），小箱子堆在一起，长、宽、高都是20个。你很快算出，送来了8000小箱橘子。现在你需要知道的只是数清一只小箱子里能堆放多少橘子。这是很容易的。你从朋友那儿借来小箱子，用橘子把它填满，这样，原来那艰巨的使命不费吹灰之力就完成了。总之，发现一种聪明的计算方法，做起来就容易得多。
弦理论中的许多计算都是这种情形。从一个卡-丘空间看，计算可能牵涉大量艰苦的数学步骤；然而，如果转移到它的镜像空间，计算可以更有效地重新组织，从而能够相对容易地实现。这一点是普里泽和我发现的，后来，坎德拉斯和他的合作者得克萨斯大学的奥莎（Xenia de la Ossa）、帕克斯（Linda Parkes）和马里兰大学的格林（Paul Green），令人惊奇地将它投入了实践。他们证明，几乎所有困难的计算都能在镜像空间里实现，只需要一台电脑和几页的代算计算。
这对数学家来说更是特别激动人心的发现，因为其中的某些计算也曾令他们困惑过多年。用物理学家的话说，弦理论把它们都解决了。
现在你该明白，在数学家和物理学家之间存在着许多有益的而且通常是友好的竞争。事实上，两个挪威数学家——埃林斯鲁德（Geir Ellingsrud）和斯特罗姆（Arild StrOmme）——就曾计算过坎德拉斯和他的伙伴们用镜像对称成功解决了的一个问题。大体说来，那相当于计算在某个特别的卡-丘空间里能“堆放”多少个球，有点儿像我们在大果箱里数橘子的问题。1991年，在伯克莱举行的一次物理学家和数学家会议上，坎德拉斯宣布他的小组用弦理论和镜像对称得出的结果是317206375。埃林斯鲁德和斯特罗姆也宣布了他们艰难的数学计算结果：2682549425。几天里，数学家和物理学家一直在争论：谁是对的？这个问题成了弦理论定量可靠性的真正考验。许多人甚至说——多少带点儿玩笑——这是弦理论能否与实验对比的最好检验。另外，坎德拉斯的结果远不仅是埃林斯鲁德和斯特罗姆也计算了的数值结果，他们还宣布说回答了许多别的极端困难的问题——实际上，那些难题连数学家也从未想过。但弦理论可信吗？数学家和物理学家们在会上进行了广泛的交流，可分歧最终还是没能解决。
大约一个月过后，一封电子邮件在参加过伯克莱会议的人中间传开了，信的主题是物理学赢了！埃林斯鲁德和斯特罗姆在他们的计算机代码中发现了一个错误，改正以后他们也证实了坎德拉斯的结果。从那以后，许多数学家都来检验弦理论镜像对称的定量可靠性：所有的检验都胜利通过了。在物理学家发现镜像对称近10年后，最近，数学家在揭示其内在的数学基础方面取得了重大进展。根据数学家康泽维奇（Maxim Kontsevich）、曼宁（Yuri Manin）、田刚（Gang Tian）、李军（Jun Li）和吉温托尔（Ale-xander Givental）等人的重要成果，丘成桐和他的合作者刘克峰等终于从数学上严格证明了用来计算卡-丘空间能放多少个球的公式，从而解决了困扰数学家几百年的一大难题。
除了这场独特的胜利，这些发现真正让我们看到物理学开始在数学舞台上崭露头角了。过去许多时候，物理学家曾在数学的仓库里“发掘”出一些工具来构造和分析物理世界的模型。现在，通过弦理论的发现，物理学家开始偿还他们的债务，为数学提供新的方法去解决他们的未解问题。弦理论不仅树起一个统一的物理学框架，还可能实现一个同样深刻的数学大联合。
注释
1.为了讨论的完整，还应该说明，虽然到现在为止我们在书中讲的许多东西都同样适用于开弦（两端自由的弦）或闭弦圈（这正是我们所关心的），但在这里讨论的问题上，两种弦将表现出不同的性质。毕竟开弦是不会缠绕在某个卷缩维的。不过，圣巴巴拉加利福尼亚大学的Joe Polchinski和他的两个学生戴建辉（Jian-Hui Dai）和Robert Leigh在1989年说明了开弦如何能很好地符合我们在这一章得到的结论。他们的成果最终将在第二次超弦革命中发挥重要作用。
2.如果你想知道为什么均匀振动的允许能量是1/R的整数倍，请回想一下第4章的量子力学讨论——特别是关于那个仓库的讨论。我们从那里知道，量子力学的能量像钞票一样，是离散的能量“元”组成的：是不同能量“元”的整数倍。在管子世界均匀振动的弦的情形，能量元正好是1/R，我们在正文里用不确定性原理解释过了。这样，均匀振动的能量就是1/R的整数倍。
3.从数学上讲，在卷缩维半径为R或1/R的宇宙中，弦能量的形式为v/R+wR，这里v为振动数，w为缠绕数。同时交换v与w和R与1/R——即交换振动数与缠绕数，同时半径换为倒数，这个方程的形式是不变的。这就是两个宇宙的弦能量相同的原因。我们在讨论中用的是普朗克单位，也可以换成更传统的单位，即用一个所谓弦标度来改写能量公式——弦标度的值大约是普朗克长度，10-33厘米。这样，弦能量可以表达为v/R+wR/α′，在交换v与w和R与α′/R时，它是不变的。这里，R和α′/R用的是传统的距离单位。
4.你大概很奇怪，在半径为R的卷缩维上缠绕着的弦怎么可能测得那半径是1/R呢？这种忧虑是很正常的，不过，问题本身却表述得不够准确。你知道，我们在说弦绕着半径为R的圆时，必然利用了某个距离定义（这样“半径为R”才有意义）。但这一个距离定义却是与未缠绕的弦模式相关的——即与振动模式相关。从这个定义——也只有从这个定义——看，缠绕的弦在空间的卷缩维展开。然而，从第二个距离定义——即与缠绕弦相关的那个定义——看，它们却是局限在空间的一点，就像第一种定义观点下的振动弦一样，而那“一点空间”的半径在它看来是1/R，如正文所讲的。
这多少说明了缠绕和未缠绕的弦所测得的半径是互为倒数的，但是，这一点还是有点儿难以捉摸，看来我们应该为对数学感兴趣的读者说说它背后的数学。在普通的点粒子量子力学里，距离与动量（本质上还是能量）通过富里叶变换相联系。就是说，在半径为R的圆周上的位置本证态｜x＞可以定义为｜x＞＝∑Neixp｜p＞，这里p＝v/R，而｜p＞是动量本证态（类似于我们所说的弦的均匀振动模式——没有形变的整体运动模式）。但在弦理论中，还存在另一个位置本证态的概念，＞，通过缠绕弦的状态来定义：＞，这里＞是缠绕弦的本证态，＝wR。根据这些定义，我们马上发现，x以2πR为周期，以2π/R为周期。这说明x是半径为R的圆周上的位置坐标，是半径为1/R的圆周上的位置坐标。说得再具体些，我们现在可以让两个波包｜x＞和＞从原点开始随时间演化，从而实现我们的两个操作方法来定义距离。不论用哪种方法，圆周的半径都正比于波包四到原来状态所需的时间。由于能量为E的状态伴着相因子Et演化，所以对振动模式来说，时间（从而也是半径）为t～1/E～R；而对缠绕模式来说，t～1/E～1/R。
5.对数学感兴趣的读者可以看到，更准确地说，弦振动的旋数等于卡－丘空间欧拉特证数的一半，这在上一章注3里已经说过了。这个数由h2，1与h1，1之差獉的绝对值来确定。这里，hp，q是（p，q）Hodge数。这两个量分别给出了非平凡同调了一圆（“三维孔”）和同调2－圆（“二维孔”）的数目（精确到一个数值变换）。因此，我们在正文里讲孔的总数，而准确地说，族数依赖于奇数维和偶数维孔洞数之差的绝对值。然而结果是相同的。例如，如果两个卡－丘空间的差别在于各自的h2，1和h1，1Hodge数是相互交换的，粒子族数———以及“孔”的总数———是不会改变的。