10.3.1 搭乘时间机器
米尔嘉闭上眼睛，做了一次深呼吸，然后睁开眼。
“让我们乘上时间机器吧，穿越时空回到 Anno Domini 1986 —— 公元 1986 年。在太阳系第三行星居住的人类，还没证明出费马大定理。尤里你就是怀尔斯，思考接下来应该证明什么。好了，1986 年的景色是这样的……”
1986 年的景色
谷山 - 志村猜想
【未证明】每一条椭圆曲线都可以对应一个模形式。
FLT(3)，FLT(4)，FLT(5)，FLT(7)
【已证明】当 k = 3, 4, 5, 7 时，
不存在 x, y, z，满足方程 。
弗赖曲线
【已证明】如果存在 p, x, y, z 满足方程 （x, y, z 是自然数。P ≥ 3，p 为质数），那么也存在弗赖曲线。
弗赖曲线和椭圆函数的关系
【已证明】弗赖曲线是椭圆曲线的一种。
弗赖曲线和模形式的关系
【已证明】弗赖曲线不是模形式。
“这就是‘1986 年的景色’。”米尔嘉说道，“标着【已证明】的，是不用自己证明就可以直接拿来用的命题。这里该尤里你出马了。”
米尔嘉看着尤里，尤里噌地一下挺直了后背。
“哪怕有不明白的用词，尤里你也能解开下面这个问题。”
问题10-1 （搭乘时间机器）
从“1986 年的景色”出发去思考，接下来只要证明何种命题，就能证明费马大定理了呢？
10.3.2 从“1986 年的景色”发现问题
尤里用一副要哭鼻子的样子看着我，像是在求助。不过很快她就变为一脸认真的表情，把目光投向米尔嘉的问题。一边念叨着“因为反证法……”一边开始思考。
我自己马上就解开了刚才的问题。因为米尔嘉将其称为“1986 年的景色”，就相当于给了一个近乎答案的，清晰明了的提示。
但尽管如此，我还是有些吃惊。
我喜欢数学公式。数学公式具体且具有相容性。解读数学公式来理解其结构，将数学公式变形来引出思路。有数学公式就能领会，没有就会感到不满足。
然而，“费马大定理”的证明实在是太难了。我完全无法理解公开研讨会上老师给我们展示的数学公式。好不甘心。
我能很顺利地追上米尔嘉 在“1986 年的景色”中表明的逻辑，却跟不上数学公式。但就算这样，我也因为能追上逻辑的流向而感到喜悦。就好像即使不能探查星星，却能欣赏夜空中的星座一样吧。
在学校老师会命令我们“证明这个”“证明那个”，而不会告诉我们“去思考一下应该证明什么”。解开老师给的问题固然很重要，然而发现应该去解开的问题不也是很重要的吗？在交错复杂的命题森林中，找出该走的那条小路……
“我明白了。”尤里的声音中透着紧张，“只要证明谷山 - 志村猜想，也就是——
‘每一条椭圆曲线都可以对应一个模形式’
这个命题，就证明了费马大定理。”
“理由是？”米尔嘉不给喘息机会地问道。
“用……反证法。”尤里谨慎地开始说明，“反证法的假设是要证明的命题的反面……不，是要证明的命题的否定。”
假设：“费马大定理不成立。”
这样一来，就存在 n, x, y, z 满足方程 。这样一来 …… 咦？ p 是质数啊 …… 啊，对对。因为 FLT(4) 已经得到了证明，所以可以认为 n ≠ 4，n 也不等于 8, 16, 32, 64, ... 。也就是说，n 可以写成 n = mp，即‘自然数 m’和‘n 的质因数 p，p ≥ 3’的乘积的形式。如果存在 n, x, y, z 满足方程 ，那么根据指数运算法则，m, p 满足以下等式。
然后……将这个 xm, ym, zm 重新命名为 x, y, z 的话，就存在满足 xp + yp = zp 的 p, x, y, z。”
尤里说到这里偷瞄了我一眼，我沉默地点了点头。
“喔，然后呢？”米尔嘉说道。
“然后，根据‘1986 年的景色’—— 如果存在 p, x, y, z 满足方程 xp + yp = zp，那么也存在弗赖曲线。弗赖曲线是椭圆曲线的一种，但不是模形式。所以……就存在弗赖曲线这种‘非模形式的椭圆曲线’。嗯，理论上就是这样。虽然我不知道‘弗赖曲线’‘椭圆曲线’‘模形式’是什么……”
推导出的命题：存在非模形式的椭圆曲线。
“到这里我用了所有的【已证明】的命题。然后现在——
假设我证明了谷山 - 志村猜想。
这样一来，就存在‘每一条椭圆曲线都可以对应一个模形式’。因为每一条椭圆曲线都可以对应一个模形式，所以可以推导出下面这个命题。”
推导出的命题：不存在非模形式的椭圆曲线。
“我推导出了两种结论，即‘存在’非模形式的椭圆曲线和‘不存在’非模形式的椭圆曲线，它们互相矛盾。因此由反证法，否定了假设，证明了费马大定理。
假设的否定：“费马大定理成立。”
所以，如上所述，只要证明了谷山 - 志村猜想，也就证明了费马大定理！”
尤里眼中闪着光芒，看着米尔嘉。
我和泰朵拉也看着米尔嘉。
米尔嘉抛了个媚眼，说了一句：
“Perfect。”
解答10-1 （搭乘时间机器）
只要证明了谷山 - 志村猜想，也就证明了费马大定理。
米尔嘉微微笑着，声音平静地补充道：“弗赖想出了弗赖曲线，弗赖曲线给了费马大定理一个反例，而赛尔把这个猜想公式化了。黎贝证明了这个猜想。为何怀尔斯听到这个会兴奋，想必尤里你已经明白了吧。费马大定理 —— 这是一块 350 多年来没人能解开的，古老的七巧板。但是这块七巧板现在也就只差一块了，而且我们已经知道，只要证明谷山 - 志村猜想，就能填上这一块板子。”
尤里用力地点了好几次头。
10.3.3 半稳定的椭圆曲线
“怀尔斯证明了谷山 - 志村猜想对吧。”泰朵拉在胸前握紧双拳说道。
“然而，并不是。”米尔嘉答道。
“咦？咦咦咦？”
“就像尤里回答的那样，如果能证明谷山 - 志村猜想，也就证明了费马大定理。说的没错。但实际历史不是这样的。事实上怀尔斯证明的命题是‘每一条半稳定的椭圆曲线都可以对应一个模形式’。是存在‘半稳定’这个限制条件的。”
米尔嘉站了起来，在我们身边走来走去，继续说着。
“为什么要加上这个限制条件呢？因为如果没有限制条件，要证明谷山 - 志村猜想太难了。那为什么带有限制条件也没关系呢？你明白吗？”米尔嘉把手放在了泰朵拉的肩膀上。
“这，这个……我不明白。”
“尤里你呢？”
尤里默默地想了一会，不久后一下子抬起头回答道：
“我明白了。因为弗赖曲线是半稳定的椭圆曲线吧！”
“就是这样。”米尔嘉用中指推了推眼镜，“尤里的推测很有逻辑性。怀尔斯为了使用反证法，就想证明出一个与弗赖曲线的存在相悖的命题。为什么他想证明带有半稳定这个限制条件的谷山 - 志村猜想呢？因为弗赖曲线具有半稳定的性质。于是，由他证明的最重要的定理是这个——
怀尔斯定理：每一条半稳定的椭圆曲线都可以对应一个模形式。
根据这个定理，就可以导出矛盾了。”
根据弗赖曲线：
存在不对应模形式的半稳定的椭圆曲线。
根据怀尔斯定理：
不存在不对应模形式的半稳定的椭圆曲线。
“这就构成了矛盾。根据反证法，证明完毕。费马大定理成为了真正意义上的定理。”
10.3.4 证明概要
“费马大定理”证明概要
使用反证法。
1. 假设：费马大定理不成立。
2. 根据假设，可以作出弗赖曲线。
3. 弗赖曲线：虽是半稳定的椭圆曲线，但不对应模形式。
4. 即“存在不对应模形式的半稳定的椭圆曲线”。
5. 怀尔斯定理：每一条半稳定的椭圆曲线都可以对应一个模形式。
6. 即“不存在不对应模形式的半稳定的椭圆曲线”。
7. 上述第 4 项和第 6 项相矛盾。
8. 因此费马大定理成立。
米尔嘉沉默地扫视了我们一圈。
“这个‘证明概要’在逻辑上是正确的，但还不够。不够也是理所当然的，因为这只不过是一个概述。我们并不明白谷山 - 志村猜想是什么，也不明白‘椭圆曲线’‘弗赖曲线’‘模形式’等重要词语的含义。但即使不能理解怀尔斯的证明，也可以体会谷山 - 志村猜想吧？起码可以再向数学领域踏出一步吧？你们也这么觉得……吧？”米尔嘉问道。
我们不暇思索地点了点头。
“接下来，我要以这四个题目来谈数学。
椭圆曲线的世界
自守形式的世界
谷山 - 志村定理
弗赖曲线
因为‘谷山 - 志村猜想’已经在 1999 年被完全证明了，之后我们就称其为‘谷山 - 志村定理’。首先，椭圆曲线指的是……啊，我们先换个地方，观众太多了。”米尔嘉说道。
刚才食堂里不少参加研讨会的高中生们围住了我们的座位，专注地听着米尔嘉讲话。