7.2.1 余项
“……就这样，我被表妹辩倒了。”我说。
“尤里对条件看得真紧啊……”泰朵拉说道。
“我看你被辩倒了很开心嘛。”米尔嘉说道。
这里是我的教室。
米尔嘉出了院，从今天起回来上课了。不过是拄着拐杖来的。因为行动不便，放学后我们就没到图书室去，直接在教室讨论起来了。
米尔嘉的眼镜焕然一新，镜框的弯曲度略与之前不同。左臂和右脚还缠着绷带，显得很可怜。
学妹泰朵拉也加入了我们的谈话。因为前些日子捉迷藏的事，我不由得很在意她，可她却一如往常。
女孩子的心，还真是难以捉摸啊 —— 咦？
“我说泰朵拉，你换了发型？”
清爽了许多，给人感觉不再乱七八糟慌慌张张了，反而利落了许多。
“诶？啊，你发现了？没做什么大的修整，只把长长的部分稍微修剪了一下……剪太短了吗？”
泰朵拉用手指拽着刘海，眼睛往上看着。
“短了不少……不过很配你哦。”
“诶？是是是是是吗？很……很高兴你能这么说……”
只见泰朵拉两手握拳在脑袋上转来转去，不知道是什么手势。
“然后呢？听见‘12 和 0 是不一样的’你就跟霜打的茄子似的撤了？”米尔嘉问道。
“此话怎讲？”
“时钟的世界，是由 mod 来运营的。”
“mod ？”
“求余项 —— 也就是余数的运算，叫作 mod。打个比方，7 除以 3 余数得 1 就可以写成下面这样。
7 mod 3 = 1
无视商，只关注余数。我们按顺序来讲。”
米尔嘉说着，向我打了个手势。
让我交出笔记本和自动铅笔是吧，遵命，遵命。
◎ ◎ ◎
我们按顺序来讲。
你用了自然数的范围来定义余项。自然数 a 除以 b 得到的商设为 q，余项设为 r，则 a, b, q, r 关系如下所示，这是对的。
在此，将 a 和 b 的范围从自然数扩大到整数，但因为商不能为 0，所以 b ≠ 0。
将整数 a 除以整数 b(b ≠ 0) 得到的商设为 q，余项设为 r，用以下等式定义商和余项。因为 b 也有可能为负数，所以我们在附加条件的不等式中用绝对值 |b| 代替 b。
给出 a, b 的话，q, r 就具有唯一性了。这样就可以定义 mod 了。
mod的定义（整数）
假设 a, b, q, r 是整数， b ≠ 0。
这没什么难的。和 +，-，×，÷ 一样，mod 就是一个运算。打比方说，用 7 除以 -3，商为 -2，余数为 1。
因为存在制约条件 0 ≤ r < |-3|，所以 7 mod (-3) 的值只能为 1。
采用刚刚我们定义的运算 mod，假设从凌晨 0 点开始过了 h 个小时，那么时针就会指向 h mod 12。当然，为了让你表妹没法吐槽，我把 12 的刻度事先换成了 0。
h 也可以是负数。从凌晨 0 点过了 -1 个小时（也就是提前了一小时）时，时针指向 11，然后 (-1) mod 12 也确实为 11。
-1 = 12 × (-1) + 11 (0 ≤ 11 < |12|)
那么，我给泰朵拉出道简单的题，对于整数 a 和 b，存在
a mod b = 0
请用一句话说明 a 和 b 的关系。
◎ ◎ ◎
“嗯……”泰朵拉思考着米尔嘉的问题，“整数 a 和 b 的关系吗，a mod b 指的是 a 除以 b 的余数对吧，所以 a mod b = 0 指的是……‘a 除以 b 余数为 0’吧！”
“没什么错，不过泰朵拉，这可以直接用一句话归纳。”
“诶？用一句话？嗯，那个……”
“‘a 是 b 的倍数’，或者说‘b 是 a 的约数’也行。”米尔嘉说道。
“还可以说成‘a 能整除 b’。”我说。
“啊，是这样啊！”泰朵拉用力点了点头。
“mod 是只求余数的运算对吧。”我说，“求商和余数我还能明白，只求余数有什么意义吗？”
“喔……你不是喜欢‘调查奇偶性’吗？”米尔嘉反问我。
“调查奇偶性是种理论啊……啊，对了！”
“没错。‘调查奇偶性’就是‘调查除以 2 的余数’。”
嗯，确实如此。调查奇偶性的时候除以 2，无视商，只关注余数。原来如此。
“我想问问在 mod 的定义中出现的 a = bq + r 这个式子。”泰朵拉说道，“r 是英语的 remainder‘余数’的首字母对吧，但是 q 是什么单词的首字母呢？‘除’是 pide，‘比率’是 ratio，‘分数’的话是 fraction……”
“quotient。”米尔嘉立即答道，“是‘商’。mod 是 modulo。”
7.2.2 同余
“那么，我们来谈谈同余。”米尔嘉说道，“同余指的是，把余数相等的数同等看待。”
“同等看待？”泰朵拉一脸不解。
“就是把不同的东西看成一样的东西的意思哦，泰朵拉。”我补充道。
“时钟的例子很简单。”米尔嘉继续讲道，“3 点和 15 点是不同的时刻，但是在这两个时刻，时针都指向 3。因此，我们把 3 和 15 同等看待。也就是说，把除以 12 得到的余项中，相等的余项同等看待。如下面的数学公式所示。”
3 ≡ 15 (mod 12)
“要注意这里的符号不是 =，而是 ≡。这个式子叫作同余式。此外，我们把这时的 12 称为模。3 ≡ 15 (mod 12) 这个同余式读作
‘3 和 15 对模 12 同余。’
试着以 12 为模，举出几个同余式的例子。总之就用 ≡ 连接那些用模除后余数相等的数。”
“因为 ≡ 两边的余项相等，所以一般可以像下面这样表示。
也可以把这个想成是 ≡ 的定义。”
“米尔嘉，我想问一下。”泰朵拉举起手。
“什么？”
“我感觉越来越不明白 mod 这个运算的含义了。刚开始我是将 a mod b 理解为‘a 除以 b 的余数’，但是涉及‘以 m 为模同余’时，出现了 (mod m)，mod 左边被除数的位置上什么都没有写……”
“这样啊，不习惯的话确实容易搞混。”米尔嘉说道，“泰朵拉，你明白这个式子的意思吧？”
a mod m = b mod m
“嗯，我明白，余数相等。等式的意思是‘a 除以 m 的余数’和‘b 除以 m 的余数’相等。”
“那就行了。这个式子中，两边的除数都是 m。现在为了把式子简化，我们把两边都有的 mod m 统一写到右边，但在这里 a 和 b 并不相等，只是除以 m 的余数相等。所以我们不采用 a = b (mod m) 这样的等号 =，在此我们用一个跟等号很像的符号 ≡ 来代替它。”
a ≡ b (mod m)
“原来如此，我明白了。a mod m 是计算余数的式子。a ≡ b (mod m) 是表示余数相等的式子……是这样吧？”
“是这样。”
米尔嘉竖起食指转了一圈，继续往下讲。
“那么，a 除以 m 的余数等于 b 除以 m 的余数可以直接写成
a mod m = b mod m
也可以写成下面这种形式。
(a - b) mod m = 0
换句话说，就是‘以 m 为模的同余数字的差，是 m 的倍数’。”
“诶？诶？啊，确实是这么回事。这个我明白。一计算 a - b，两边的余数就会消失了呢。”泰朵拉了然地点头。
“对，举个例子，15 和 3 的情况下，
就像这样，15 和 3 的差确实是 12 的倍数。”
mod 的另一种说法
假设 a, b, m 为整数，m ≠ 0 。
7.2.3 同余的含义
“话说，为什么要把余数相等的两个数字称为同余呢？我倒是知道三角形的全等 1……”
1日文中整数的“同余”和几何的“全等”是一个词，皆为“合同”。—— 译者注
米尔嘉听了这个问题，微微歪着头，回以微笑。
“你一直都很在意用词呢……确实，几何里也有这个词。‘两个三角形全等’指的是无视位置和方向，把两个三角形同等看待。把两个全等的三角形的位置和方向翻过来掉过去，能恰好重合，对吧？”
我和泰朵拉默默地点了点头。米尔嘉继续往下讲。
“无视差异是很重要的。整数的同余跟几何的全等很像。以 m 为模，无视 m 倍数上的差异，把两个数字同等看待。如果把同余的两个数字加减 m 的倍数，就能恰好相等。”
7.2.4 不拘小节地同等看待
“我觉得很不可思议。”泰朵拉说，“数学是一门严谨的学问对吧。数学重视日常生活中那些想不到的、微小的差异，然而偶尔也能非常不拘小节地将两个东西同等看待吗？‘复平面’中，将点和数字同等看待，在医院讲过的‘群’则是在集合的元素中定义运算，和数字同等看待。还有整数的‘同余’，也是无视倍数的差异同等看待。本来同余这个用语也是将几何和整数做了同等看待……”
“一出现同等看待，感觉就变得有意思了。”我点头道，“应该说感觉好像‘发现’了未知的事物，‘这个和那个很像！不，几乎一样！’—— 这种感觉是喜悦吗？还是看穿结构的快乐呢？结构的同等看待……”
“我们在医院讨论过‘群同构’。”米尔嘉也开口了，“同构这个概念是想从数学层面表达‘结构的同等看待’。创造同构的映射称为同构映射，同构映射是含义的源泉，也是连接两个世界的桥梁。”
7.2.5 等式和同余式
“这个嘛，就先不往哲学方面谈了。”米尔嘉继续先前的话题，“本来 = 这个符号就很像 ≡。因为等式和同余式非常相似，所以数学家们才选了这个跟等号非常相似的符号表示同余。事实上，等式和同余式极为相似，但是除法除外。”
等式的情况 ——
当 a = b 时，以下关系式成立。
a + C = b + C 两边同时加上同一个数，结果相等a - C = b - C 两边同时减去同一个数，结果相等a × C = b × C 两边同时乘以同一个数，结果相等
同余式的情况 ——
当 a ≡ b (mod m) 时，以下关系式成立。
a + C ≡ b + C (mod m) 两边同时加上同一个数，结果同余a - C ≡ b - C (mod m) 两边同时减去同一个数，结果同余a × C ≡ b × C (mod m) 两边同时乘以同一个数，结果同余
7.2.6 两边同时做除法运算的条件
“除法就是去除。”米尔嘉说。确实，加减乘除四则运算中，关于加法、减法以及乘法，等式和同余式都一模一样。于是问题自然就来了……正当我想到这里的时候，泰朵拉举起了手。
“米尔嘉，同余式不可以在两边同时除以同一个数吗？”
对，就是这个！泰朵拉虽然经常会落下条件，不过还是非常聪明的，她一直跟着米尔嘉的思路，也始终执着地带着问题听讲。同余式中该怎么进行除法运算呢……
“跟等式不一样。现在让他来举具体例子。”米尔嘉指着我。
把包袱丢给我吗？！好吧，也行……
“这个，嗯……比如说，将 12 作为模，则 3 和 15 同余。
3 ≡ 15 (mod 12)
但是，在两边同时除以 3，同余式就不成立了。因为在两边同时除以 3，左边是 1，右边是 5。以 12 为模的话 1 跟 5 是不同余的。”我说。
(3 ÷ 3)(15 ÷ 3) (mod 12)
“诶？是吗……”泰朵拉说道，“以 12 为模，1 跟 5 不同余……啊，对啊。因为时钟的时针在 1 点和 5 点分别指向不同的位置。明明在 3 点和 15 点是指向一个位置的……总觉得有些可惜呢。”
“刚刚他举了一个不能除的例子。”米尔嘉说道，“但是也有两边可以除以同一个数的情况，比如说 15 和 75 这个例子，这两个数以 12 为模是同余的。”
15 ≡ 75 (mod 12)
“75 点是几点啊？”泰朵拉说道，“75 ÷ 12……这个，商 6 余 3 对吧。因为 15 ÷ 12 商 1 余 3，所以 15 和 75 确实是同余的。”
“这时就算在两边同时除以 5，同余式也成立。”米尔嘉说道。
(15 ÷ 5) ≡ (75 ÷ 5) (mod 12)
“嗯。15 ÷ 5 = 3，75 ÷ 5 = 15，3 跟 15 同余。咦？不过像这样在两边同时除以 3，同余式就不成立了呢……”
(15 ÷ 3)(75 ÷ 3) (mod 12)
因为 15 ÷ 3 = 5，75 ÷ 3 = 25。5 点和 25 点……也就是说，时针指向的是 5 点和凌晨 1 点。
我恍然大悟。原来在同余式两边同时除以某个数，同余式有可能成立，也有可能不成立啊。
这样一来，下一个问题是……
就如回应我一般，米尔嘉说道：
“这样下一个问题自然就来了。”
问题7-1 （同余式和除法运算）
假设 a, b, C, m 为整数。
当 C 具有何种性质时，以下关系成立？
“这个条件就是说，两边可以同时除以 C 对吧。”
“对。”米尔嘉简短地回答道。
我跟泰朵拉都迅速闭上嘴，开始进入思考模式。
我从 mod 的定义出发，开始变形数学公式，往泰朵拉那里瞟了一眼，发现她也开始在笔记本上写写画画了……但不久，她就一脸抱歉地对我说：
“对不起，学长……还有米尔嘉学姐。很抱歉打扰你们了，不过能给我点提示吗？就算想琢磨也完全没有头绪啊……”
“思考问题的第一步是？”米尔嘉问道。
“举例子。‘示例是理解的试金石’。”泰朵拉答道，“我又确认了一遍刚才 3 ≡ 15 和 15 ≡ 75 的例子。”
“泰朵拉你想从除法运算的角度想吧？”
“诶？啊，是，没错。从可以进行除法运算的条件……”
“泰朵拉你啊……别从除法运算想，先观察乘法运算。观察乘法运算不是没用的，它能帮你更好地理解除法运算。现在我们给集合 {0, 1, 2, ... , 11} 起个名字，叫作 。
然后在集合 里定义运算 ，我们把运算 定义为‘两个数相乘除以 12 求余数’。当然集合 关于运算 是闭集。因为除数是 12，所以余数 r 在 0 ≤ r < 12 这个范围内。”
（运算 的定义）
“泰朵拉，我在医院说群的时候写了一个 ★ 的运算表，现在你来写 的运算表，然后我们针对你写的运算表来讨论。”
“好，好的。请问，这个方框里面带个 × 的符号是……”
“别管它是 ★ 还是 ，是什么都行。我只是试着选了一个跟乘法运算很像的符号。你算算这两个例子。”米尔嘉举了两个例子。
“我懂了，那我来写运算表。”
老实的泰朵拉开始在自己的笔记本上画起运算表。首先在 0 的行和列上写上一大串 0，然后在 1 的行和列上写上 1, 2, 3, 4, ... , 11。然后开始努力填满表格。
填到 6 这一行的一半时，泰朵拉突然抬起头。
“啊，糟了！糟了糟了，我忘了今天得提早回家！抱歉，学长，米尔嘉学姐。今天我先失陪了，我们改天再一起研究数学吧！”
泰朵拉抓起笔记本 —— 上面是写了一半的运算表，离开了教室。
7.2.7 拐杖
教室里剩下我和米尔嘉。
少了活力四射的泰朵拉，教室一下子安静了许多。
我看着米尔嘉脚上的绷带，她是不是还在疼呢？
“米尔嘉，拄拐很费劲吧？”
“也不是我愿意的。”
米尔嘉平时总是挺直腰板，雷厉风行地走路，拄拐对她来说应该很憋屈吧。
“不过，你就快能扔掉拐杖了吧。”
“我已经能撇掉拐杖走了，今天我只是想确认一下能不能行。”
确认？算了，不管怎么说，没出什么大事真是太好了。
“今天你这就回去了吗？”我问她。
“唔……也是啊。回去之前我想先去趟厕所。”
米尔嘉突然对我伸出手。
“诶？”
“拐杖太麻烦了。”
啊……原来是让我借她肩膀。
我左手拿着拐杖，右手臂绕过米尔嘉的后背撑着她，就像怀抱一般。嗯……好难掌握平衡啊，而且碰女孩子这件事本身就让我紧张得不行。
她左手臂绕过我的脖子，绷带粗糙的触感和药品的气味。我们一起站起来，走出教室，步入走廊。然后……
“左边。”米尔嘉说道。
这边吗？不过，能不能不要在我耳边小声说话啊。
我们调整着步伐，注意着脚下。
“我走太快了？”
“没关系。”
米尔嘉的重量应该都压在我身上，我却几乎感觉不到她的重量。能感觉到的，只有柔软又丰满的……心跳不停，脸如火烧，柑橘系的香味把我的心搅得一团乱。
走廊里没有人，茜红色的夕阳从窗口斜斜地洒进来。
“到这里就行。”我们到了厕所跟前。
“那我在这儿等你。”我把拐杖递给她。
“两人三足，果然有意思啊。”
米尔嘉丢下这句话就进了厕所。
呼……
我靠在走廊的墙壁上，大大地出了一口气。
透过窗户，可以看到美丽的晚霞散布在天际。
回去路上也要一直借她肩膀吗。女孩子，怎么说呢，真是非常的……我啊，难不成净是被米尔嘉牵着鼻子走吗？算了，无所谓了。
“两人三足，果然有意思啊。”
果然？