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《数学女孩2:费马大定理》7.1 时钟

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7.1.1 余数的定义

“哥哥,这个怎么样?”尤里问我。

“什么?”

“诶?没发现吗?你看你看!”

尤里说着转过头,马尾辫上苔绿色的新丝带轻轻摇曳着。

“丝带真漂亮啊。”

“嘁嘁嘁……哥哥,你这样可是会不受女孩子欢迎的哦。”

“你这是什么意思啊?”

“不应该说‘丝带真漂亮啊’,应该说‘很配你哦’才对嘛。”

“诶……”

“你真是不明白女孩子的心思喵!”尤里又开始用猫语说话了。

“是是……很配你哦。”

“喂!别机械地重复啊!”

“哈哈哈……”

“热身完毕,今天要讲什么?”尤里问道。

“尤里,你知道余数的定义吗?”

“除完剩下的数字对吧。”

“这……你忘了怎么描述定义了吗?‘余数指的是……’”

“啊!想起来了。‘余数指的是除完剩下的数字’对吧。”

“我知道你想说什么,但是这不算定义,用什么除什么?剩下的数字指的是什么?必须说明白。”

“嗯……人家没这么想过,弄不明白啊。”

“那我们一起来想。”我打开笔记本。

“好啊。”尤里戴上眼镜,凑到我身边。

开始学习——

“为了准确地定义余数,我们采用数学公式。”

a 除以 b 剩下的数字指的就是这个等式中的 r。我们这么来定义这些字母:ab 是自然数,qr 是自然数或者 0。”

“咦?我说哥哥,我感觉这个等式没有定义余数啊,而且根本没出现除法运算!”

“定义余数也是定义除法运算,所以在定义余数的时候没出现除法运 是正常的。这个式子用乘法定义了余数。首先你先好好读读 a = bq + r 这个等式。读数学公式不能着急,得边读边一个个去确认 a, b, q, r 这些字母的意思。”

“人家知道啦,老师。嗯……自然数指的就是 1, 2, 3 这样的吧……在等式 a = bq + r 里出现了 a, b, q, r 这四个字母。a 是被除数,b 是除数,r 是余数……但是 q 是什么?”

“你认为是什么?”

bq 相乘,再加上 r 就等于 a……难不成 q 是除法运算的答案?”

“没错。qa 除以 b 的商。”

“那我就明白这个等式的意思了。a = bq + r 就表示用 a 除以 b,商为 q 余数为 r 对吧。但是这个等式里,

右边写的条件 (0 ≤ r < b) 又是为什么呢?”

“你终于发现了啊。你真是不会放过任何一个条件呢。好好想想看,为什么会存在这个条件?如果有很在意的地方,就一个一个仔细想,这对学习数学非常重要哦。”

“哥哥演起老师还真是有模有样的。 ——嗯,因为 r 是余数,所以 0 ≤ r,总之余数要大于等于 0 对吧。余数是 0 就整除了。但是为什么 r < b 我就不明白了……”

尤里推了一下她的树脂框眼镜,双手抱在胸前。

“这个,r < b 嘛……r 是余数,b 是除数……啊!这不是明摆着嘛!r < b 就意味着‘余数’比‘除数’小。比如 7 除以 3,余数为 1 是 吧, 7 ÷h 3 = 2 ... 1。用 3 除,余数肯定不会超过 3,如果用 3 除余 4,就会出现‘余数多了’的问题……”

“对对,就是这么回事。尤里真棒,能用具体数字举例。条件 0 ≤ r < b 表示余数肯定大于等于 0,且余数小于除数。看吧,只要这样仔细读,这个定义余数的等式 a = bq + r (0 ≤ r < b) 不也进到脑子里了吗?数学这东西,就算你非常神速地把它全背下来也没用。要慢慢地读,反复地写数学公式,有疑问要仔细思考,举出具体例子验证。这么玩很重要。玩着玩着就学会了。要想准确定义余数,就必须证明存在唯一满足这个式子的 qr。现在我们先省去这个步骤。”

余数的定义(自然数)

我们用以下等式定义 a 除以 b 的商 q 和余数 r

在此,a, b 为自然数,q, r 为自然数或0。

“那么,来把你的例子套到等式里看看。用 7 除以 3,商为 2 余数为 1。也就是说,a = 7, b = 3, q = 2, r = 1。”

7 = 3 × 2 + 1 (0 ≤ 1 < 3)

“嗯,明白……不过这有意思吗?”

“尤里,之前我跟你举过‘使用数学公式表达’的例子。算数和数学最大的不同在于,会不会出现带有字母的数学公式,对吧?你已经理解了‘余数’是什么,但是要表达它,则需要数学公式。然后,在数学公式中,我们必须紧紧咬住每一个字母的含义。这就是我之前想说的。”

“喔……我明白了,哥哥。”

“不过话说回来,你还是没放过任何一个条件呢,了不起!”

“讨厌!人家会不好意思的!”

7.1.2 时针指示之物

我指了指墙上的时钟。

“如果时钟时针指向 3,那么可能出现两种情况 —— 凌晨 3 点,或者 15 点,也就是下午 3 点。我们不知道是哪种情况。时针指向的是‘用现在的时刻除以 12 的余数’。因为 15 ÷ 12 = 1 ... 3,余数是 3,所以在 15 点时时针会指向 3 这个数字。”

“喔……听哥哥你这么一说,确实是这样呢。要是 23 点的话,就用 23 除以 12,余数是 11,然后时针会指向 11……没错。”

“所以,时钟正在进行求余数的计算哦。”

“不是吧!哥哥你搞错了吧!”

“嗯?”

“因为你看嘛,想想余数为 0 的时候啊,12 点的时候,时针不指向 0 而指向 12,难道说余数得 12 ?太奇怪了吧。”

“啊,说的也是,但是 12 跟 0 是一样的啊……”

“12 跟 0 才不一样呢!哥哥你忘了余数的定义了吗?

用 12 除的时候,余数 r 有 0 ≤ r < 12 这个条件吧? 12 没有余数哦!喵哈哈~”

“呃……”

尤里这家伙,跟立了什么大功一样……