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《数学女孩2:费马大定理》3.3 最大公约数和最小公倍数

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“我们来做一下最大公约数和最小公倍数的练习。”我写下了问题。

问题3-1

假设 ML 分别表示自然数 a, b 的最大公约数和最小公倍数。

那么,请用 ML 表示 a × b

“哥哥,人家不懂啊。”

“回答得太快了!都说过你太轻言放弃了!”

“人家没学过这个公式嘛!”尤里嘟起了嘴。

“就算没学过公式,也能想想吧。—— 好吧,那我们一起想。”

“嗯!”

“我们尽量把问题具体化。特别是像出现 a, b, M, L 这样很多变量的情况下,代入具体数字思考是非常关键的 。”

“举出具体数字就行吗?那试试让 a = 1, b = 1 吧! a × b = 1 × 1 = 1。a, b 的最大公约数就是……嗯,是 1 对吧,也就是说 M = 1。然后最小公倍数……嗯,L = 1。

怎么出现这么多 1 啊,越来越糊涂了。”

“我说啊,尤里,全在脑子里想的话,就会乱成一锅粥的。好好用表格总结一下。”

“很麻烦嘛。”

“尤里,让 a = 1, b = 1 的话,它们就都是最小的自然数,而且相等。这是极为特殊的例子。所以试着想想 ab,而且数字再大一点的例子。比如说,a = 18, b = 24 怎么样?”

“知道了,我试试看。a = 18, b = 24 的话……”

“你分解了质因数啊。”我说。

“嗯……最大公约数是把两个数都包含的数字合在一起,它们都包含一个 2 和一个 3,所以最大公约数是 2 × 3 = 6。”

“没错。最大公约数 M = 6。那么,最小公倍数呢?”

“最小公倍数是把至少其中一方包含的数字合在一起,在这两个数中,有三个 2 和两个 3,所以最小公倍数是 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 72。”

“最小公倍数 L = 72。那么,在表格中再追加一行。”

“怎么用 6 和 72 得到 432 ?”我说。

“不是做乘法吗? a × b 就等于 M × L 吧?”

“你确认看看。”

“你看吧!果然没错!它们都等于 432 !”

“是呢。刚好 a × b = M × L。那么在这里,我来简明易懂地说明一下。”

“诶?”

“再写一次将 a = 18, b = 24 分解质因数的过程。这次我们试着把位置上下整合一下。”

“同样也把 M = 6, L = 72 写出来看看。”

“比对这两张表格,就能理解 a × b = M × L 了吧。”

“一点儿都不知道!”

“是吗?尤里刚刚你说过的吧?”

“最大公约数是把两个数都包含的数字合在一起”。

“最小公倍数是把至少其中一方包含的数字合在一起”。

“哥哥听得好仔细啊。”

“尤里说的‘两个数都包含的数字’和‘其中一方包含的数字’里面的‘数字’指的是什么?”

“是 2 和 3 啊。”

“对啊。分解质因数时出现的一个一个的质数就叫作质因数。尤里,跟我说一次‘质因数’。”

“诶?‘质因数’……为什么要让我重复?”

“出现新词语的时候,自己反复念出来比较好哦。这样就会深深地刻在‘心的索引’里了。”

“诶?然后呢?”

“把位置整合以后写出来就会发现,a × bM × L 的合成方法不同,但出来的质因数是相同的。”

“确实,很明显 a × b = M × L,它们分别乘起来的东西是一样的。”

“东西?”

“啊……乘起来的质因数是一样的。”

“嗯,分解质因数,就是把自然数分解成质因数的乘积。分解质因数非常重要,因为它能让我们看到自然数的结构。”

“分解质因数,有这么重要啊……”

“想到这里,我们就很清楚 a × b = M × L 的关系了。a × b 是‘a 的所有质因数’和‘b 的所有质因数’的乘积。而 M × L 从结果上来说也是一样的。因为最大公约数 M 是‘ab 所有重复的质因数’的乘积,最小公倍数 L 是‘除 ab 重复的质因数之外的所有质因数’的乘积。”

解答3-1

假设 ML 分别表示自然数 a, b 的最大公约数和最小公倍数。

那么,

是成立的。

“请听题。把 ab 分解质因数,变成以下这种形式。这时 ab 是什么关系呢?”

“哈哈。没有共同的东西。”

“你说的共同的‘东西’是?”

“是质因数! ab 没有共同的质因数对吧。”

“这是有专门的词汇的啊……”

“知道了知道了知道了知道了知道了!”

“你说了五次‘知道了’。质数。”

ab 是‘互质’的关系!”

“对,完全正确。”

“哥哥!人家可能已经习惯说‘互质’了!”

“那就太好了。”