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《数学女孩2:费马大定理》2.1 泰朵拉

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“学长?”

“嗯?”

“啊……抱……抱歉吓着你了。”泰朵拉说。

现在是午休时间,我跟泰朵拉一起在高中的楼顶吃着午饭。风儿微凉,但并不影响明媚的阳光给我们带来的好心情。泰朵拉吃着盒饭,我啃着面包。

“没事,嗯……我在想家里亲戚的事。”

“这样啊。”

泰朵拉微微笑了一下,继续吃她的盒饭。

她上高一,是小我一年的学妹。短发,大眼睛,总是笑眯眯的,个子小小的,跟我关系很好,我们总在一起学数学。基本上都是我在教她,不过她经常也会提出一些充满亮点的主意让我吃惊。

“对了,村木老师的卡片呢?”

“哦哦,差点忘了。”

她拿出卡片,上面只写了一句话。

问题2-1

存在无数个基本勾股数吗?

“还是……那么简短。”

“素好短吶……”

泰朵拉大口嚼着煎蛋卷说。

“泰朵拉,你知道基本勾股数吗?”

“那当然,直角三角形斜边的平方等于剩余两边平方的和,对吧?斜边呢,就是跟直角相对的那条边!”

泰朵拉说着,用筷子在空中划出了一个大大的直角三角形。

“……”

“咦?不对吗?”

“你说的,是勾股定理……”

勾股定理

直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和。

“勾股数和勾股定理有什么不一样吗?”

“这个嘛,有关系但是不一样。勾股数指的是可以构成直角三角形三边的一组自然数。”

我和她解释勾股数的定义。

勾股数

自然数 abc 满足以下关系式时,可将(a, b, c)这一组的三个自然数称为勾股数。

“然后,基本勾股数的定义是这样的。”

基本勾股数

自然数 abc 满足以下关系式,且 abc 的最大公约数等于 1 时,将(a, b, c)这一组数称为基本勾股数。

“也就是说,直角三角形三条边为自然数时,这三个数的组合就是勾股数。要是最大公约数还等于 1,那这三个数就是基本勾股数。村木老师的问题就是,是否有无数个这样的基本勾股数。”

“啊……等等,我还不太明白‘最大公约数为 1’的意思……”

“那我们来举个例子。打比方说,(a, b, c) = (3, 4, 5) 是勾股数对吧?因为 32 + 42 = 52 是成立的,计算一下就会知道 9 + 16 = 25。然而 (3, 4, 5) 既是勾股数,也是基本勾股数。3、4、5 的最大公约数 —— 也就是能整除这三个数的最大数为 1,对吧。”

“……学长,抱歉我的脑子有点跟不上。勾股数和基本勾股数的区别,我还是不太明白……”

“没事,不明白也没什么,再举几个例子。(3, 4, 5) 既是勾股数,也是基本勾股数。但是,将这三个数分别乘以 2 得到的 (6, 8, 10) 呢?它们虽然是勾股数,但不是基本勾股数。”

“嗯,62 = 36, 82 = 64, 102 = 100,而 36 + 64 = 100……确实,62 + 82 = 102 是成立的,所以可以说 (6, 8, 10) 是勾股数。嗯,到这里我理解了。又因为 6, 8, 10 的最大公约数是 2,所以 (6, 8, 10) 就不是基本勾股数……能整除三个数的数字只有 1,这样的才是基本勾股数,对吧?”

“对,村木老师的问题是,是不是存在无数个这样的基本勾股数。”

泰朵拉一脸认真,默默地思考着。不过因为嘴里咬着筷子,怎么也严肃不起来。不久,她很疑惑地问道:

“学长,很奇怪啊……对于直角三角形的三条边 abca2 + b2 = c2 总是成立的对吧?然后各种改变边长,就可以造出无数个直角三角形,所以肯定有无数个基本勾股数不是吗?”

“静下心来,想想基本勾股数的条件。”

“咦?……啊,不对不对不对不对不对不对不对!”

泰朵拉呼呼地挥着手里的筷子。

“你一共说了 7 次‘不对’,是质数。”我说。她还是这么慌慌张张的,如果换成尤里,可能会更淡定一些。泰朵拉还是一如既往地容易忘记条件。

“我不小心把自然数这个条件忘了!三条边中两条可以自由选择,所以满足自然数的条件。但剩下的一边就不一定是自然数了……”

“没错。要处理这个问题,就多找几个 (3, 4, 5) 这样的基本勾股数的例子如何?”

“明白了,这就是学长你总挂在嘴边的那 句‘示例是理解的试金石’对吧?为了帮助自己理解,举出示例——”

泰朵拉真是又率直又有活力。不过……

“我说,你这也太危险了,别到处挥筷子行不行啊?”

“啊……对不起。”

泰朵拉赶紧放下手,满脸通红。