<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴
钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷十三
面部三
勾股【勾股?和较相求法下 勾股积与和较相求 正勾股比例】
勾股?和较相求法【下】
设如有勾股较七尺勾股?总和四十尺求勾股?各几何【第三十四】
法以勾股?总和四十尺内减勾股较七尺余三十三尺为两勾一?之共数【葢勾股?总和为一勾一股一?之共数内减勾股较是于股内减勾股较即又得一勾矣故为两勾一?也】自乗得一千零八十九尺又以勾股较七尺自乗得四十九尺两自乗数相减余一千零四十尺折半得五百二十尺为长方积乃以勾股?总和四十尺与两勾一?之共数三十三尺相加得七十三尺为长阔和用?纵和数开方法算之得阔八尺为勾加勾股较七尺得十五尺为股于勾股?总和四十尺内减勾八尺又减股十五尺余十七尺为?也如图甲乙丙丁为两勾一?自乗之一大正方内戊己庚辛为?自乗之一正方甲子戊壬丑乙寅己庚夘丙辰癸辛己丁为勾自乗之四正方壬戊辛癸子丑巳戊巳寅卯庚辛庚辰己为勾?相乗之四长方?自乗之一正方内容四勾股积为勾股相乗之二长方又勾股较自乗之一小正方今于甲乙丙丁两勾一?自乗之一大正方内减去午未申酉勾股较自乗之一小正方尚余勾股相乗之二长方勾?相乗之四长方勾自乗之四正方折半得勾股相乗之一长方勾?相乗之二长方勾自乗之二正方与戌亥干坎长方形等其濶即勾其长为两勾两?一股其长濶和为三勾两?一股故以勾股?总和与两勾一?之共数相并为长阔和用?纵和数开方法算之得阔为勾也
又法以勾股?总和四十尺自乗得一千六百尺折半得八百尺为长方积乃以勾股较七尺为长阔较用?纵较数开方法筭之得阔二十五尺为勾?和得长三十二尺为股?和于勾股?总和四十尺内减勾?和二十五尺余十五尺为股减勾股较七尺余八尺为勾又于勾?和二十五尺内减勾八尺余十七尺为?也如图甲乙丙丁为勾股?总和自乗之一大正方内戊己庚丁为?自乗之一正方辛壬癸己为股自乗之一正方子乙丑壬为勾自乗之一正方甲辰辛寅与癸己卯丙为勾?相乗之二长方寅辛己戊与己癸卯庚为股?相乗之二长方辰子壬辛与壬丑己癸为勾股相乗之二长方如以勾自乗之一正方与股自乗之一正方相并则又与?自乗之一正方相等是为?自乗之正方二股?相乗之长方二勾?相乗之长方二勾股相乗之长方二折半即得?自乗之正方一股?相乗之长方一勾?相乗之长方一勾股相乗之长方一而与午未申酉勾?和与股?和相乗之长方等葢午未申酉之长方内戌亥干酉为?自乗之一正方午坎亥戌为股?相乗之一长方亥艮申干为勾?相乗之一长方坎未艮亥为勾股相乗之一长方其濶即勾?和其长即股?和其长濶较即勾股较故以勾股较为长阔较用?纵较数开方法算之得濶为勾?和也
设如有勾?较九尺勾股?总和四十尺求勾股?各几何【第三十五】
法以勾股?总和四十尺内减勾?较九尺余三十一尺为两勾一股之共数【盖勾股?总和为一勾一股一?之共数内减勾?较是于?内减勾?较即又得一勾矣故为两勾一股也】自乗得九百六十一尺又以勾股?总和四十尺与勾?较九尺相加得四十九尺爲两?一股之共数【葢勾股?总和为一勾一股一?之共数今加勾?较是于勾数加勾?较即又得一?矣故为两?一股也】自乗得二千四百零一尺两数相减余一千四百四十尺四归之得三百六十尺为长方积乃以勾?较九尺为长阔较用?纵较数开方法算之得濶十五尺为股于勾股?总和四十尺内减股十五尺余二十五尺为勾?和减勾?较九尺余十六尺折半得八尺为勾加勾?较九尺得十七尺为?也如图甲乙丙丁为两勾一股自乗之一大正方内戊己庚辛为股自乗之一正方甲子戊壬丑乙寅己庚卯丙辰癸辛己丁为勾自乗之四正方壬戊辛癸子丑己戊己寅卯庚辛庚辰己为勾股相乗之四长方又午未申酉为两?一股自乗之一大正方内戊己庚辛为股自乗之一正方午干戊戌坎未艮己庚震申巽亥辛离酉为?自乗之四正方戌戊辛亥干坎巳戊巳艮震庚辛庚巽离为股?相乗之四长方今于午未申酉之正方内减去甲乙丙丁之正方所余四隅之午干子甲壬戌等类四磬折形皆为?自乗之方内减去勾自乗之方与股自乗之四正方积相等四面之戌壬癸亥等类四长方形乃勾?较与股相乗之四长方【戌戊为?壬戊为勾故戌壬为勾?较】以四归之则余股自乗之一正方勾?较与股相乗之一长方共为戌坤兑亥一长方其阔即股其长即股与勾?较之和故以勾?较为长阔较用?纵较数开方法算之得濶为股也
设如有股?较二尺勾股?总和四十尺求勾股?各几何【第三十六】
法以勾股?总和四十尺内减股?较二尺余三十八尺为两股一勾之共数【盖勾股?总和为一勾一股一?之共数内减股?较是于?内减股?较即又得一股矣故为两股一勾也】自乗得一千四百四十四尺又以勾股?总和四十尺与股?较二尺相加得四十二尺为两?一勾之共数【葢勾股?总和为一勾一股一?之共数今加股?较是于股数加股?较即又得一?矣故为两?一勾也】自乗得一千七百六十四尺两数相减余三百二十尺四归之得八十尺为长方积乃以股?较二尺为长阔较用?纵较数开方法算之得阔八尺为勾于勾股?总和四十尺内减勾八尺余三十二尺为股?和减股?较二尺余三十尺折半得十五尺为股加股?较二尺得十七尺为?也如图甲乙丙丁为两股一勾自乗之一大正方内戊己庚辛为勾自乗之一正方甲子戊壬丑乙寅己庚卯丙辰癸辛己丁为股自乗之四正方壬戊辛癸子丑巳戊己寅卯庚辛庚辰己为勾股相乗之四长方又午未申酉为两?一勾自乗之一大正方内戊己庚辛为勾自乗之一正方午干戊戌坎未艮己庚震申巽亥辛离酉为?自乗之四正方戌戊辛亥干坎巳戊巳艮震庚辛庚巽离为勾?相乗之四长方今于午未申酉之正方内减去甲乙丙丁之正方所余四隅之午干子甲壬戌等类四磬折形皆为?自乗之方内减去股自乗之方与勾自乗之四正方积相等四面之戌壬癸亥等类四长方形乃股?较与勾相乗之四长方【戌戊为?壬戊为股故戌壬为股?较】以四归之则余勾自乗之一正方股?较与勾相乗之一长方共为戌坤兊亥一长方其阔即勾其长即勾与股?较之和故以股?较为长阔较用?纵较数开方法算之得阔为勾也
设如有勾股和二十三尺?与勾股较之较十尺求勾股?各几何【第三十七】
法以勾股和二十三尺自乗得五百二十九尺又以勾股和二十三尺与?与勾股较之较十尺相加得三十三尺为两勾一?之共数【葢?与勾股较之较为一勾一股?较之共数与勾股和相加则得两勾一股一股?较而股加股?较即?故为两勾一?之共数也】自乗得一千零八十九尺两自乗数相减余五百六十尺折半得二百八十尺为长方积乃以?与勾股较之较十尺与两勾一?之共数三十三尺相加得四十三尺为长濶和用?纵和数开方法算之得阔八尺为勾于勾股和二十三尺内减勾八尺余十五尺为股又于股十五尺内减勾八尺余七尺为勾股较与?与勾股较之较十尺相加得十七尺为?也如图甲乙丙丁为勾股和自乗之一大正方内戊己庚丁为股自乗之一正方辛乙壬己为勾自乗之一正方甲辛己戊与己壬丙庚为勾股相乗之二长方又癸子丑寅为两勾一?自乗之一大正方内卯辰巳寅为?自乗之一正方未申酉辰亥干申未干子坎申申坎艮酉为勾自乗之四正方癸亥未午午未辰卯辰酉戌己酉艮丑戌为勾?相乗之四长方今以两正方相减则是癸子丑寅方内减去离辰坤震股自乗之一正方即如前图之戊己庚丁然又未申酉辰勾自乗之一正方即如前图之辛乙壬己然又巽未辰离辰酉兑坤勾股相乗之二长方即如前图之甲辛己戊己壬丙庚然所余之卯离震坤己寅一磬折形与勾自乗之一正方等【?自乗之正方内减股自乗之方则与勾自乗之方等】再午巽离卯与坤兑戌己二小长方为股?较与勾相乗之二长方若各补于勾自乗之二正方内即成勾与?与勾股较之较相乗二长方【葢?与勾股较之较乃?内减去勾股较之余然?内有一勾一勾股较一股?较若减去勾股较则所余为一勾一股?较矣今以股?较与勾相乗之长方补于勾自乗之正方内则其长为一勾一股?较即?与勾股较之较其濶即勾故为勾与?与勾股较之较相乗之长方也】合计之则为勾自乗二正方勾?相乗二长方勾与?与勾股较之较相乗二长方折半则余勾自乗一正方勾?相乗一长方勾与?与勾股较之较相乗一长方之共积与金木水火长方形等其阔即勾其长为一勾一?一?与勾股较之较其长阔和为两勾一?一?与勾股较之较故以?与勾股较之较与两勾一?之共数相加用帯纵和数开方法算之得阔为勾也
设如有勾股和二十三尺?与勾股较之和二十四尺求勾股?各几何【第三十八】
法以勾股和二十三尺自乗得五百二十九尺又以?与勾股较之和二十四尺自乗得五百七十六尺两数相加得一千一百零五尺为长方积乃以?与勾股较之和二十四尺倍之得四十八尺为长阔较用?纵较数开方法算之得十七尺为?于?与勾股较之和二十四尺内减?十七尺余七尺为勾股较于勾股和二十三尺内减勾股较七尺余十六尺折半得八尺为勾加勾股较七尺得十五尺为股也如图甲乙丙丁为勾股和自乗之一大正方内戊己庚丁为股自乗之一正方辛乙壬己为勾自乗之一正方甲辛己戊与己壬丙庚为勾股相乗之二长方又癸子丑寅为?与勾股较之和自乗之一大正方内卯辰巳寅为?自乗之一正方午子未辰为勾股较自乗之一正方癸午辰卯与辰未丑巳为勾股较与?相乗之二长方两大正方相并则得?自乗三正方勾股较与?相乗二长方共为申酉戌亥一长方形何也卯辰巳寅为一?方戊己庚丁一股方与辛乙壬己一勾方相并为一?方甲辛己戊己壬丙庚勾股相乗之二长方即四勾股积与午子未辰勾股较自乗之一正方相并又为一?方癸午辰卯辰未丑巳即勾股较与?相乗之二长方今二自乗方相加则成申酉戌亥之一大长方其阔即?其长为三?二勾股较其长濶较为二?二勾股较故将?与勾股较之和倍之为二?二勾股较之共数用?纵较数开方法算之得阔为?也
设如有勾?和二十五尺?与勾股和之较六尺求勾股?各几何【第三十九】
法以勾?和二十五尺自乗得六百二十五尺又以勾?和二十五尺与?与勾股和之较六尺相加得三十一尺为两勾一股之共数【葢勾?和为一勾一?之共数今于?数内加?与勾股和之较即为勾股和是为两勾一股之共数矣】与勾?和二十五尺相乗得七百七十五尺两数相减余一百五十尺为长方积乃以勾?和二十五尺为长濶和用?纵和数开方法算之得长十五尺为股于股十五尺内减?与勾股和之较六尺余九尺为勾?较与勾?和二十五尺相加得三十四尺折半得十七尺为?内减勾?较九尺余八尺为勾也如图甲乙丙丁为勾?和自乗之一大正方内戊巳庚丁为?自乗之一正方辛乙壬己为勾自乗之一正方甲辛己戊与己壬丙庚为勾?相乗之二长方又癸子丑寅为两勾一股与勾?和相乗之一大长方内卯辰己寅为股自乗之一正方午未申卯与癸酉未午为勾与?相乗之二长方与甲乙丙丁大正方内之甲辛巳戊己壬丙庚二长方等未戌亥申为勾自乗之一正方与甲乙丙丁大正方内之辛乙壬己一正方等而酉子戌未亦为勾自乗之一正方与卯辰巳寅股自乗之一正方相并乃与甲乙丙丁大正方内之戊己庚丁?自乗之一正方等两数相减所余为辰亥丑巳一长方其辰巳长即股其辰巳巳丑长阔和即勾?和故以?纵和数开方法算之得长为股也
设如有勾?和二十五尺?与勾股较之和二十四尺求勾股?各几何【第四十】
法以勾?和二十五尺自乗得六百二十五尺又以勾?和二十五尺与?与勾股较之和二十四尺相加得四十九尺为两?一股之共数【葢勾?和加?与勾股较之和则得两?一勾一勾股较而勾加勾股较即股故为两?一股也】自乗得二千四百零一尺两自乗数相加得三千零二十六尺为长方积乃以两?一股之共数倍之得九十八尺为四?二股之共数与勾?和相加得一百二十三尺为长濶和用?纵和数开方法算之得濶三十四尺折半得十七尺为?于勾?和二十五尺内减?十七尺余八尺为勾又于?与勾股较之和二十四尺内减?十七尺余七尺为勾股较与勾八尺相加得十五尺为股也如图甲乙丙丁为勾?和自乗之一大正方内戊己庚丁为?自乗之一正方辛乙壬己为勾自乗之一正方甲辛己戊与巳壬丙庚为勾?相乗之二长方又癸子丑寅为两?一股自乗之一大正方内卯辰己寅为?自乗之四正方午未子辰为股自乗之一正方癸申酉卯申午辰酉辰未亥戌戌亥丑己为股?相乗之四长方今以两自乗之方相并则得?自乗五正方又勾自乗之一正方与股自乗之一正方相并为?自乗之一正方共为?自乗六正方勾?相乗二长方股?相乗四长方相合共成干坎艮震一大长方其濶即二?数其长为三?一勾二股数其长濶和为五?一勾二股数故将两?一股之共数倍之与勾?和相加为长阔和用?纵和数开方法算之得濶为二?而折半为?也
设如有股?和三十二尺?与勾股和之较六尺求勾股?各几何【第四十一】
法以股?和三十二尺自乗得一千零二十四尺又以股?和三十二尺与?与勾股和之较六尺相加得三十八尺为两股一勾之共数【葢股?和为一股一?之共数今于?数内加?与勾股和之较即为勾股和是为两股一勾之共数矣】与股?和三十二尺相乗得一千二百一十六尺两数相减余一百九十二尺为长方积乃以股?和三十二尺为长阔和用?纵和数开方法算之得阔八尺为勾于勾八尺内减?与勾股和之较六尺余二尺为股?较与股?和三十二尺相加得三十四尺折半得十七尺为?内减股?较二尺余十五尺为股也如图甲乙丙丁为股?和自乗之一大正方内戊己庚丁为?自乗之一正方辛乙壬己为股自乗之一正方甲辛己戊与己壬丙庚为股?相乗之二长方又癸子丑寅为两股一勾与股?和相乗之一大长方内卯辰巳寅为勾自乗之一正方午未申卯与癸酉未午为股?相乗之二长方与甲乙丙丁大正方内之甲辛己戊己壬丙庚二长方等未戌亥申为股自乗之一正方与甲乙丙丁大正方内之辛乙壬己一正方等而酉子戌未亦为股自乗之一正方与卯辰己寅勾自乗之一正方相并乃与甲乙丙丁大正方内之戊己庚丁?自乗之一正方等两数相减所余为辰亥丑己一长方其辰己濶即勾其辰己巳丑长濶和即股?和故以?纵和数开方法算之得阔为勾也
设如有股?和三十二尺?与勾股较之较十尺求勾股?各几何【第四十二】
法以股?和三十二尺自乗得一千零二十四尺又以股?和三十二尺与?与勾股较之较十尺相加得四十二尺为两?一勾之共数【葢?与勾股较之较为一勾一股?较之共数与股?和相加则得一勾一股一?一股?较而股加股?较即又得一?故为两?一勾也】自乗得一千七百六十四尺两自乗数相加得二千七百八十八尺为长方积乃以两?一勾之共数倍之得八十四尺为四?二勾之共数与股?和三十二尺相加得一百一十六尺为长濶和用?纵和数开方法算之得阔三十四尺折半得十七尺为?于股?和三十二尺内减?十七尺余十五尺为股又于?十七尺内减?与勾股较之较十尺余七尺为勾股较于股十五尺内减勾股较七尺余八尺为勾也如图甲乙丙丁为股?和自乗之一大正方内戊己庚丁为?自乗之一正方辛乙壬巳为股自乗之一正方甲辛己戊与巳壬丙庚为股?相乗之二长方又癸子丑寅为两?一勾自乗之一大正方内卯辰巳寅为?自乗之四正方午子未辰为勾自乗之一正方癸申酉卯申午辰酉辰未亥戌戌亥丑巳为勾?相乗之四长方今以两自乗之方相并则得?自乗五正方又勾自乗之一正方与股自乗之一正方相并为?自乗之一正方共为?自乗六正方股?相乗二长方勾?相乗四长方相合共成干坎艮震一大长方其阔即二?数其长为三?一股二勾数其长濶和为五?一股二勾数故将两?一勾之共数倍之与股?和相加为长阔和用?纵和数开方法算之得濶为二?而折半为?也
设如有勾股较七尺?与勾股和之较六尺求勾股?各几何【第四十三】
法以?与勾股和之较六尺自乗得三十六尺折半得十八尺为长方积以勾股较七尺为长阔较用?纵较数开方法算之得二尺为股?较与?与勾股和之较六尺相加得八尺为勾加勾股较七尺得十五尺为股再加股?较二尺得十七尺为?也如图甲乙丙丁为?自乗之一正方戊己丙庚为股自乗之一正方甲壬癸辛为勾自乗之一正方戊丑癸子为?与勾股和之较自乗之一正方其积与壬乙己丑辛子庚丁之勾?较与股?较相乗之二长方等【与股?较之共数见前有勾?较股】今以?与勾股和之较自乗折半必与壬乙己丑一长方积相等其乙己阔即股?较其壬乙长即勾?较而勾?较之中有一股?较一勾股较故以勾股较为长阔较用帯纵较数开方法算之得濶为股?较也
设如有勾?较九尺?与勾股较之较十尺求勾股?各几何【?较求勾】
法以?与勾股较之较十尺为勾与股?较之共数【股?法第四十四葢?与勾股较之较乃?内减去勾股较之余然?内有一勾一勾股较一股?较今减去勾股较故余为勾与】自乗得一百尺又以勾?较九尺与?与勾股较之较十尺【股?较之共数也】相加得十九尺为?【葢勾加勾?较即?今?与勾股较之较既为勾与股?较之共数若加勾?较则为?与股?较之共数矣】自乗得三百六十一尺两自乗数相减余二百六十一尺又以勾?较九尺自乗得八十一尺于两自乗数相减之余二百六十一尺内减之余一百八十尺折半得九十尺为长方积以勾?较九尺为长濶较用?纵较数开方法算之得长十五尺为股以股十五尺与?与股?较之共数十九尺相加得三十四尺折半得十七尺为?内减勾?较九尺余八尺为勾也如图甲乙丙丁为勾与股?较相和自乗之一大正方内戊己庚丁为勾自乗之一正方辛乙壬己为股?较自乗之一正方甲辛己戊与己壬丙庚为股?较与勾相乗之二长方又癸子丑寅为?与股?较相和自乗之一大正方内卯辰巳寅为?自乗之一正方午未子辰为股?较自乗之一正方即如前图之辛乙壬巳然癸午辰卯与辰未丑巳为股?较与?相乗之二长方两自乗方相减则于癸子丑寅正方形内减去与甲乙丙丁正方形相等之申子干戌正方形余卯酉戌亥巳寅磬折形为?自乗方内减去勾自乗方所余之股自乗之方积其癸申酉卯与亥干丑巳为勾?较与股?较相乗之二长方共积与?与勾股和之较自乗之正方等今以卯酉戌亥巳寅磬折形变为股自乗之方作一坎艮震巽正方形又以癸申酉卯亥干丑己二长方共积变为?与勾股和之较自乗之方作一巽离坤兑正方形则此二正方邉之较即勾?较【并见勾?较股?较求勾股?法中】是以坎艮震巽股自乗之正方形内减去水艮金木勾?较自乗之正方则余坎水木金震巽一磬折形而此磬折形内火木离巽之一正方形与巽离坤兑之正方形等是则坎水木金震巽磬折形与巽离坤兑正方形相合共为坎水离巽类之二长方矣折半则为一长方其阔即?与勾股和之较其长即股其长阔较即勾?较故以勾?较为长濶较用?纵较数开方法算之得长为股也又法以?与勾股较之较十尺为勾与股?较之共数与勾?较九尺相加得十九尺为?与股?较之共数两数相并得二十九尺为一勾一?二股?较之共数与勾?较九尺相乗得二百六十一尺又以勾?较九尺自乗得八十一尺两积相减余一百八十尺折半得九十尺为长方积以勾?较九尺为长阔较用帯纵较数开方法算之得长十五尺为股与?与股?较之共数十九尺相加得三十四尺折半得十七尺为?内减勾?较九尺余八尺为勾也如图甲乙丙丁为勾?较与一勾一?二股?较相乗之长方内甲乙己戊为勾?较与勾?和相乗之一长方与庚辛壬癸股自乗之一正方积等【见股与勾?较求勾?法中】戊己丙丁为勾?较与股?较相乗之二长方与癸子丑寅?与勾股和之较自乗之一正方积等此二正方邉之较即勾?较【并见勾?较股?较求勾股?法中】是以庚辛壬癸股自乗之正方形内减去卯辛巳辰勾?较自乗之正方则余庚卯辰己壬癸一磬折形而此磬折形内午辰子癸之一正方与癸子丑寅之正方形等庚卯辰午之一长方与辰己壬子之长方形等折半即余庚卯子癸一长方形其阔即?与勾股和之较其长即股其长阔较即勾?较故以勾?较为长阔较用?纵较数开方法算之得长为股也
设如有股?较二尺?与勾股较之和二十四尺求勾股?各几何【第四十五】
法以?与勾股较之和二十四尺减股?较二尺余二十二尺为股与勾股较之共数【葢?内减股?较余即股故于?与勾股较之和内减股?较余即为股与勾股较之共数也】自乗得四百八十四尺又以?与勾股较之和二十四尺自乗得五百七十六尺两自乗数相减余九十二尺又于股与勾股较之共数自乗之四百八十四尺内减两自乗数相减所余之九十二尺余三百九十二尺为长方积乃以股与勾股较之共数二十二尺倍之得四十四尺内减股?较二尺余四十二尺为长阔和用?纵和数开方法算之得濶十四尺折半得七尺为勾股较于?与勾股较之和二十四尺内减勾股较七尺余十七尺为?于?内减股?较二尺余十五尺为股于股内减勾股较七尺余八尺为勾也如图甲乙丙丁为股与勾股较相和自乗之一大正方内戊己庚丁为股自乗之一正方辛乙壬己为勾股较自乗之一正方甲辛己戊与己壬丙庚为勾股较与股相乗之二长方又癸子丑寅为?与勾股较相和自乗之一大正方内卯辰巳寅为?自乗之一正方午子未辰为勾股较自乗之一正方即如前图之辛乙壬己然癸午辰卯与辰未丑己为勾股较与?相乗之二长方两自乗方相减则于癸子丑寅正方形内减去与甲乙丙丁正方形相等之申子干戌正方形所余卯酉戌亥巳寅磬折形为?自乗方内减去股自乗方所余之勾自乗之方积其癸申酉卯与亥干丑巳为勾股较与股?较相乗之二长方今以此余积再于甲乙丙丁正方形内减之则减去坎艮震丁勾自乗之一正方其积与卯酉戌亥巳寅磬折形等又甲巽离戊与戊离坤坎二长方即如癸申酉卯亥干丑巳二长方然所余兑巳庚震与己壬丙庚为股与勾股较相乗之二长方火辛己兑与辛乙壬己为勾股较自乗之二正方巽火兑离与离兑艮坤为勾与股?较之较与勾股较相乗之二长方试将巽火兑离离兑艮坤二长方移为水木辛火木金乙辛则成水金丙震一大长方形其阔即二勾股较其长即二股内少一股?较其长濶和为二勾股较二股少一股?较故以股与勾股较之共数倍之得二股二勾股较内减去一股?较为长濶和用帯纵和数开方法算之得濶为二勾股较折半得勾股较也
又法以?与勾股较之和二十四尺减股?较二尺余二十二尺为股与勾股较之共数自乗得四百八十四尺又以?与勾股较之和二十四尺与股与勾股较之共数二十二尺相加得四十六尺为一股一?二勾股较之共数以股?较二尺乗之得九十二尺两数相减余三百九十二尺为长方积乃以股与勾股较之共数二十二尺倍之得四十四尺内减股?较二尺余四十二尺为长阔和用?纵和数开方法算之得阔十四尺折半得七尺为勾股较于?与勾股较之和二十四尺内减勾股较七尺余十七尺为?于?内减股?较二尺余十五尺为股于股内减勾股较七尺余八尺为勾也如图甲乙丙丁为股与勾股较相和自乗之一大正方亦即一勾二勾股较之共数自乗之正方也【盖图以甲辛为股辛乙为勾股较若以甲申为勾则申辛亦勾股较故为一勾两勾股较也】内巳午未丁为勾自乗之一正方申辛己酉酉巳戌午辛乙壬己巳壬亥戌为勾股较自乗之四正方甲申酉戊戊酉午巳午戌庚未戊亥丙庚为勾股较与勾相乗之四长方又癸子丑寅为股?较与一股一?二勾股较相乗之一长方内癸子辰夘为股?较与股?和相乗之一长方与勾自乗之一正方等【见勾与股?较求股?法中】卯辰丑寅为股?较与二勾股较相乗之二长方今以两积相减则于甲乙丙丁正方形内减去与癸子辰卯相等之巳午未丁之勾自乗之一正方又减去与卯辰丑寅相等之甲干坎戊戊坎艮巳之股?较与二勾股较相乗之二长方所余酉巳庚未与己壬丙庚为股与勾股较相乗之二长方申辛己酉与辛乙壬己为勾股较自乗之二正方干申酉坎坎酉午艮为勾与股?较之较与勾股较相乗之二长方试将干申酉坎坎酉午艮二长方移为震巽辛申巽离乙辛则成震离丙未一大长方形其濶即二勾股较其长即二股内少一股?较其长濶和为二勾股较二股内少一股?较故以股与勾股较之共数倍之得二股二勾股较内减去一股?较为长阔和用?纵和数开方法算之得阔为二勾股较折半得勾股较也
勾股积与勾股?和较相求法
设如有勾股积一百二十尺勾十尺求股?各几何法以勾股积一百二十尺倍之得二百四十尺以勾十尺除之得二十四尺为股勾股求?得?二十六尺如图甲乙丙勾股形积倍之成甲乙丙丁长方形积其阔即勾其长即股故以勾除倍积而得股也
设如有勾股积六十尺股十五尺求勾?各几何法以勾股积六十尺倍之得一百二十尺以股十五尺除之得八尺为勾勾股求?得?十七尺如图甲乙丙勾股形积倍之成甲乙丙丁长方形积其长即股其濶即勾故以股除倍积而得勾也
设如有勾股积三十尺?十三尺求勾股各几何法以勾股积三十尺四因之得一百二十尺又以?十三尺自乗得一百六十九尺相减余四十九尺开方得七尺为勾股较乃以勾股积倍之为长方积以勾股较为长濶较用帯纵较数开方法算之得濶五尺为勾得长十二尺为股如图甲乙丙丁为?自乗之方内容甲戊乙乙己丙丙庚丁丁辛甲四勾股积戊己庚辛一勾股较自乗方积故于?自乗方内减四勾股积即余勾股较自乗之方而开方得勾股较也
设如有勾股积六十尺勾股较七尺求勾股?各几何
法以勾股积六十尺倍之得一百二十尺以勾股较七尺为长濶较用?纵较数开方法算之得濶八尺为勾加勾股较七尺得十五尺为股勾股求?得?十七尺如图甲乙丙勾股形积倍之成甲乙丙丁长方形积其濶即勾其长即股其长濶较即勾股较故用?纵较数开方法算之得阔为勾也又如有勾股积几何知勾?较或股?较求勾股?法中用帯纵立方算之始得兹故不设设在?纵立方之后
设如有勾股积六十尺勾股和二十三尺求勾股?各几何
法以勾股积六十尺八因之得四百八十尺又以勾股和二十三尺自乗得五百二十九尺两数相减余四十九尺开方得七尺为勾股较于勾股和二十三尺内减勾股较七尺余十六尺折半得八尺为勾加勾股较七尺得十五尺为股勾股求?得?十七尺如图甲乙丙丁为勾股和自乗之方内容八勾股积一勾股较自乗方积今于勾股和自乗之方内减八勾股积所余戊己庚辛正方即勾股较自乗之方故开方而得勾股较也又如有勾股积几何知勾?和或股?和求勾股?法中用帯纵立方算之始得兹故不设设在?纵立方之后
设如有勾股积六十尺勾股?总和四十尺求勾股?各几何
法以勾股积六十尺四因之得二百四十尺又以勾股?总和四十尺自乗得一千六百尺两数相减余一千三百六十尺折半得六百八十尺以勾股?总和四十尺除之得十七尺为?于勾股?总和四十尺内减?十七尺余二十三尺为勾股和用有?有勾股和求勾股法算之得勾八尺股十五尺如图甲乙丙丁为勾股?总和自乗之一大正方内戊己庚丁为勾自乗之一正方辛壬癸己为股自乗之一正方子乙丑壬为?自乗之一正方寅子壬辛与壬丑卯癸为股?相乗之二长方甲寅辛辰与癸卯丙己为勾?相乗之二长方辰辛己戊与己癸己庚为勾股相乗之二长方夫勾股相乗之二长方与四勾股积等今于勾股?总和自乗之一大正方内减去四勾股积即减去勾股相乗之二长方而勾自乗之一正方与股自乗之一正方相并又与?自乗之一正方等故所余者为?自乗之二正方股?相乗之二长方勾?相乗之二长方折半即得?自乗之一正方股?相乗之一长方勾?相乗之一长方与甲乙丑辰长方形等其濶即?其长即勾股?总和故以勾股?总和除之而得?也
设如有勾股积六十尺?与勾股和之较六尺求勾股?各几何
法以勾股积六十尺四因之得二百四十尺以?与勾股和之较六尺除之得四十尺为勾股?总数内减?与勾股和之较六尺余三十四尺折半得十七尺为?加?与勾股和之较六尺得二十三尺为勾股和用有?有勾股和求勾股法算之得股十五尺勾八尺如图甲乙为勾股和丙乙为?甲丙为?与勾股和之较试依甲乙线作甲丁戊乙勾股和自乗之一正方又以丙乙线作丙己庚乙?自乗之一正方二方相较其甲丁戊庚己丙磬折形乃与四勾股积相等【葢勾股和自乗方内容八勾股积一勾股较自乗方积?自乗方内容四勾股积一勾股较自乗方积二方相减所余磬折形积与四勾股积相等】引而长之即如丙甲戊庚一长方形其濶即?与勾股和之较其长即?与勾股和之和故以?与勾股和之较除之得勾股?总数也
设如有勾股积六十尺?与勾股较之和二十四尺求勾股?各几何
法以勾股积六十尺四因之得二百四十尺又以?与勾股较之和二十四尺自乗得五百七十六尺两数相减余三百三十六尺折半得一百六十八尺用?与勾股较之和二十四尺除之得七尺为勾股较于?与勾股较之和二十四尺内减勾股较七尺余十七尺为?用有?有勾股较求勾股法算之得勾八尺股十五尺如图甲乙丙丁为?与勾股较之和自乗之一正方甲戊己庚为?自乗之一正方而?自乗之方内容四勾股积一勾股较自乗方积今减去四勾股积余辛壬癸子为勾股较自乗之一正方而巳丑丙寅亦为勾股较自乗之一正方再戊乙丑巳与庚己寅丁又为勾股较与?相乗之二长方折半则余戊乙丑己一长方己丑丙寅一正方其戊寅长即?与勾股较之和其戊乙阔即勾股较故以?与勾股较之和除之而得勾股较也
设如有勾股积六十尺?与勾股较之较十尺求勾股?各几何
法以勾股积六十尺四因之得二百四十尺又以?与勾股较之较十尺自乗得一百尺两数相减余一百四十尺折半得七十尺以?与勾股较之较十尺除之得七尺为勾股较与?与勾股较之较十尺相加得十七尺为?用有?有勾股较求勾股法算之得勾八尺股十五尺如图甲乙丙丁为?自乗之一大正方内丁戊己庚为勾股较自乗之一正方辛乙壬己为?与勾股较之较自乗之一正方甲辛己戊与己壬丙庚为勾股较与?与勾股较之较相乗之二长方葢?自乗方内容四勾股积一勾股较自乗方积今丁戊己庚既为勾股较自乗之方若于甲乙丙丁?自乗方内减之则所余甲乙丙庚巳戊磬折形即与四勾股积相等又于四勾股积相等之甲乙丙庚己戊磬折形内减辛乙壬己?与勾股较之较自乗之方则尚余甲辛己戊己壬丙庚二长方折半则得巳壬丙庚一长方其己壬长即?与勾股较之较其己庚阔即勾股较故以?与勾股较之较除之而得勾股较也
正勾股比例
设如有正勾股知勾十二尺求股与?各几何法以正勾股定分之勾三分为一率股四分为二率今所设之勾一十二尺为三率推得四率十六尺为股仍以勾三分为一率?五分为二率今所设之勾十二尺为三率推得四率二十尺为?也葢大小两同式形其相当各界互相比之比例俱为相当比例四率【见几何原夲八卷第三节】故正勾股定分之勾三与股四之比即同于今所设之勾十二与股十六之比又正勾股定分之勾三与?五之比亦同于今所设之勾十二与?二十之比也
又防法以勾十二尺用正勾股定分之勾三分除之得四尺即知今所设之勾股形为加四倍之比例乃以正勾股定分之股四分?五分各加四倍即得所求之股?之各数矣
设如有正勾股知勾股和六十三尺求勾股?各几何
法以正勾股定分之勾三分股四分相并得七分为一率勾三分为二率今所设之勾股和六十三尺为三率推得四率二十七尺为勾若以股四分为二率即得四率三十六尺为股若以?五分为二率即得四率四十五尺为?也葢正勾股定分之勾股和七尺与勾三股四?五各相为比即同于今所设之勾股和六十三尺与勾二十七尺股三十六尺?四十五尺各相比之比例也又防法以勾股和六十三尺用正勾股定分之勾三股四相和之七分除之得九尺即知今所设之勾股形为加九倍之比例乃以正勾股定分之勾三股四?五各加九倍即得所求之各数也
设如有正勾股知勾股?总和六十尺求勾股?各几何
法以正勾股定分之勾三分股四分?五分相并共得十二分为一率勾三分为二率今所设之勾股?总和六十尺为三率推得四率十五尺为勾若以股四分为二率即得四率二十尺为股若以?五分为二率即得四率二十五尺为?也
又防法以勾股?总和六十尺用正勾股定分之勾三股四?五相并之十二分除之得五尺即知今所设之勾股形为加五倍之比例乃以正勾股定分之勾三股四?五各加五倍即得所求之各数也
设如有正勾股勾九尺股十二尺求内容方邉几何法以股十二尺七归三因得五尺一寸四分二厘八毫有余或以勾九尺七归四因亦得五尺一寸四分二厘八毫有余为内容方邉也葢勾三分股四分者则以勾股和七分为一率勾三分为二率股四分为三率推得四率为内容方邉是内容方邉得股七分之三得勾七分之四也今九尺与十二尺之比仍同于三分与四分之比故以其分数相求得内容方边仍为比例四率也
设如有正勾股勾九尺股十二尺求内容圜径几何法以股十二尺折半得六尺或以勾九尺取其三分之二亦得六尺即为内容圜径也葢勾三分股四分?五分者则于勾股和七分内减?五分余二分为内容圜径【见勾股容圜第二法】是内容圜径得股四分之二得勾三分之二也今九尺与十二尺之比同于三分与四分之比故十二尺与六尺之比仍同于四与二之比而九尺与六尺之比亦仍同于三与二之比也
设如有正勾股知勾股和二十一尺求内容方边几何
法以正勾股定分比例得勾九尺股十二尺以勾九尺七归四因或以股十二尺七归三因得五尺一寸四分二厘八毫有余即内容方边也葢内容方边得勾七分之四得股七分之三【圜径见】故必先比例得勾数或股数复比例得内容方边也
设如有正勾股知勾股和二十一尺求内容圜径几何
法以正勾股定分之勾三分股四分相加之七分为一率内容圜径二分为二率今所设之勾股和二十一尺为三率推得四率六尺即内容圜径也葢勾三
分 【前法】股四分?五分者其内容圜径为【见前法】二分故勾股和之七分与内容二分之比即同于今所设之勾股和之二十一尺与内容圜径六尺之比也总之正勾股形知一数即得所求之各数要先以勾三股四?五求得所知之定分及所求之定分【如勾股较则以勾三分与股四分相减余一分又如?与勾股较之和则以勾股较一分与?五分相加得六分之类】乃以所知之定分与所求之定分之比即同于今所知之数与今所求之数之比也
设如有正勾股面积九十六尺求勾股?各几何法以正勾股定分之面积六分为一率勾三分自乗得九分为二率今所设之勾股积九十六尺为三率推得四率一百四十四尺为勾自乗之方开方得十二尺为勾如以正勾股定分之股四分自乗为二率则得今所设之股自乗之方如以正勾股定分之?五分自乗为二率则得今所设之?自乗之方各开方而即得各数矣或得勾而以正勾股定分之勾股?各比例之亦可葢同式两勾股形其面积互相为比即同于勾股形各相当界所作正方形互相为比【见几何原夲八卷第四节】故以正勾股定分之面积六尺与勾股?各方之比即同于今所设之面积九十六尺与勾股?各方之比也
又防法以面积九十六尺用正勾股定分之面积六尺除之得十六尺开方得四尺即知今所设之勾股?为各加四倍之比例乃以正勾股定分之各数各加四倍即得各数葢两直角方面形其两方面之比例比之两界之比例为连比例隔一位相加之比例【见几何原夲七卷第五节今勾股为长方之半正方与正方为比长方与长方为比其比例相同并见第六节】故积大十六倍者界必大四倍既知其大四倍则以正勾股之定分各加四倍即得矣
设如有正勾股知勾自乗股自乗?自乗共积四百五十尺求勾股?各几何
法以共积四百五十尺折半得二百二十五尺为?自乗方积开方得一十五尺为?既得?则以勾股?之定分比例之得九尺为勾得十二尺为股也如用面积为比例则以?五分自乗之二十五分为一率勾三分自乗之九分为二率今所得之?自乗方二百二十五尺为三率求得四率八十一尺为勾自乗方积开方得九尺为勾若以股四分自乗之十六分为二率则得四率一百四十四尺为股自乗方积开方得十二尺为股也葢?自乗之一方既与勾自乗股自乗之二方等则勾自乗股自乗?自乗之三方必与?自乗之二方等故折半即得?自乗之一方而开方得?也
御制数理精蕴下编卷十三