<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴
钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷五
线部三
按数加减比例【递加递减差 分超位加减差分互□□平 差分首尾互凖】
按数加减比例
差分之内又有按数递加递减或互和折半者皆为相当比例其法有四一曰递加递减差分盖所加所减之中递次数目皆同者也一曰超位加减差分乃加减之中彼此分数不同者也一曰互和折半差分盖立法以首尾二数之较互和折半以求中数而递加递减者也一曰首尾互准差分乃以前几分之数与后几分之数互相比较或以前几分与后几分定为同数以立准则然后立衰数以求之者也然超位加减即递加递减之一类也首尾互凖又为互和折半之变体也
递加者其数自少而多以渐而加也递减者其数自多而少以渐而减也加减之数递次皆同故以递次名之法中有三色者以总法比总实即得中一数凡单位者俱按此例如五色七色九色之类是也有四色者以总法比总实得中二数相和折半之数凡双位者皆按此例如六色八色十色之类是也既得中数按定数加减则各色之数可得矣
超位加减者加减之中递次分数不同即如三人分银若干一得三分一得五分一得八分而彼此分数之比例不同又如三人买物第一人比第二人多出二倍第二人比第三人又多出一倍而加倍之比例不同故谓之超位加减然立衰分求之与递次加减无异故次于递次加减之后
互和折半者亦如递次加减之理但用法防异递次加减知总物数知总人数并知递加递减之数以求各数互和折半则亦知总物数总人数但知首一人比末一人之较数而求递加递减之数以得各数是以三色者第一数第三数相和折半即第二数四色者第一数第四数相和折半即第二数第三数之中数既得中数按较数之分加减之即得递加之数五色六色以至多位者止分竒偶立法总以三四为例俱可以相和折半而得故名之曰互和折半也首尾互准者即互和折半之变体盖互和折半知总物数知总人数又知首一人比末一人之较数因此较数而得各人分数首尾互准则不知总物数但知总人数与首尾二人各分数或但知首尾几位共分数由此互相准折而得各项分数与总数要之但以互和折半之法逆推之而即得故次于互和折半之后焉
递加递减差分
设如有金六十两令甲乙丙三人依次递加五两分之问各得几何
法以三人为一率金六十两为二率一人为三率推得四率二十两即乙应得之数自乙数加五两得二十五两即丙应得之数自乙数减五两得十五两即甲应得之数也此法因甲丙二人所得较之乙所得加减之数皆同故以总三人与总六十两之比即若中一人与中一分二十两之比也
设如有铅三百五十斤欲作四球依次递加二十五斤问每球重数若干
法以四球为一率铅三百五十斤为二率一球为三率推得四率八十七斤半即第二球第三球相和折半之数乃以递加二十五斤折半得十二斤半与八十七斤半相加得一百斤即第三球之重与八十七斤半相减余七十五斤即第二球之重于第三球重数内再加二十五斤得一百二十五斤即第四球之重于第二球重数内再减二十五斤余五十斤即第一球之重也此法比例所得八十七斤半较之第二球多十二斤半较之第三球则少十二斤半故为二球相和折半之数以递加二十五斤之数折半加减之即得中二球之重再以二十五斤加减之即得第一与第四球之重也
设如有金七十五斤分与公侯伯子男五等自男以上递加五斤问各该几何
法以五人为一率金七十五斤为二率一人爲三率推得四率十五斤即伯所得之数自伯十五斤而上加五斤得二十斤即侯所得之数再加五斤得二十五斤即公所得之数自伯十五斤而下减五斤余十斤即子所得之数再减五斤余五斤即男所得之数也
设如有俸粮三百零五石令五等官依品级递减十三石给之问各得若干
法以五分为一率【即五等官五分也】粮三百零五石为二率一分为三率推得四率六十一石即三等官俸自六十一石递加十三石得二等七十四石一等八十七石自六十一石递减十三石得四等四十八石五等三十五石也
设如有银九百九十六锭分给八人自末名以上依次递加十七锭问首末两人各该几何
法以八人为一率银九百九十六锭为二率一人为三率推得四率一百二十四锭半为第四人第五人相和折半之数乃以递加十七锭折半得八锭半与一百二十四锭半相加得一百三十三锭即第四人应得之数再以十七锭递加三次得一百八十四锭即第一人应得之数以八锭半与一百二十四锭半相减余一百一十六锭即第五人应得之数再以十七锭递减三次余六十五锭即第八人应得之数也
设如一人有九子不明説出各人岁数但云共有二百零七岁自长至少皆递差三嵗问各岁几何法以九分为一率【即以九子为九分也】二百零七岁为二率一分为三率推得四率二十三岁即第五子之年自二十三嵗递加三岁得四子二十六嵗三子二十九歳二子三十二岁长子三十五岁自二十三岁递减三嵗得六子二十岁七子十七嵗八子十四岁九子十一岁也
设如有叙功之二十人其末一人赏银一百两以上递加三十两问第一人赏银几何共赏银几何法以一分为一率递加三十两为二率十九分为三率推得四率五百七十两即第一人比末一人共多之数于此数内加入末名之一百两共六百七十两即第一人应得之数以第一人所得之数与末一人所得之数并之共七百七十两复以二十人乘之得一万五千四百两折半得七千七百两即二十人共得之银数也此法盖以第一人比第二十人共多十九个三十两故以一分与递加之三十两相比即如十九分与第一人共多于第二十人之五百七十两相比也既得十九分共多之数再加入末一人之一百两即得第一人应得之数矣又首末二数相并以人数二十乘之折半得其银数者盖以递加之数彼此均同首一人得数至多末一人得数至少首末二人之数相并折半即为中数以中数乘人数而得共数今首末二人之数相并而末折半即用人数乗之故所得之数为应得共数之加倍数是以半之而始得共银数也
设如有牛四十区但云第一区是三十头余递加二十头问第四十区该几何总数几何
法以一分为一率递加二十头为二率三十九分为三率推得四率七百八十加入第一区之三十共八百一十头即第四十区之数以首末二区数相并共八百四十头用四十区乗之得三万三千六百头折半得一万六千八百头即四十区之总数也此法第二区比第一区加二十由此递加则第四十区比第一区共多三十九个二十故以一分与二十头相比即如三十九分与第四十区共多于第一区之七百八十头相比也再加入第一区之三十头即第四十区之数继而并首末两数以总区数四十乗之折半即得共数也
设如有人一百名第一人赏银一百两以下递减五钱问共该银几何
法以一分为一率递减五钱为二率九十九分为三率推得四率四十九两五钱即第一名多于第一百名之数于一百两内减之余五十两零五钱即第一百名应赏之数又与第一名赏银相并得一百五十两零五钱以一百名乗之得一万五千零五十两折半得七千五百二十五两即共赏银数也盖赏银递减五钱则第一名比第一百名多九十九个五钱故以一分与五钱相比即如九十九分与第一名总多于第一百名之数相比也爰以首尾两数相并以名数一百乗之折半而得总银数也
设如一人染绢初日染八尺日加一尺加至六十尺止问日与绢各几何
法以初日之八尺与末日之六十尺相加得六十八尺为首尾两日共染之绢数又看八尺以前递减至一尺有几分今有七分即为七尺乃于末日之六十尺减去七尺余五十三尺即为共日五十三日乃以二日为一率六十八尺为二率五十三日为三率推得四率一千八百零二尺即五十三日共染之绢数也此法以二日为一率者取其首末相合之共日为准也以初日末日之尺数相并为二率者取其首末尺数相合与首末两日为比也以八尺递减至一尺而得日数为三率者盖以初日之八尺
【十尺内减】上数至一尺得数必为七分【理与一面尖堆法同】即爲七尺而今有之末日六去七尺余五十三尺即为五十三日故二日与首末相合之尺数相比即如共日五十三日与共绢之尺数相比也
设如一人行路日増六里共行三百二十里但知初末两日所行共一百六十里问共行几日及初日末日各行几里
法以初末两日行数一百六十里折半得八十里乃共日之中数为一率一日为二率共行三百二十里为三率推得四率四日即共行日数也又以日増六里折半得三里与六里相并得九里加于中数八十里得八十九里即第四日所行之数减于中数八十里余七十一里即第一日所行之数也此法以第四日第一日行数相并折半者为得四日之中数既得四日之中数与一日之比即如共数与四日之比也又以日増之数折半而与日増之数相并加于中数而得末日所行之数减于中数而得初日所行之数者其所得之中数在第二日第三日之间故此中数内加日増数之半即得第三日所行之数减日増数之半即得第二日所行之数故再加日増数之全而得末日所行之数再减日増数之全而得初日所行之数也
设如一人织布厯十三日共织一千三百五十二寸因日渐长每日加功六寸至末日比初日多织七十二寸问初末二日各织几何
法以十三日为一率共织数一千三百五十二寸为二率一日为三率推得四率一百零四寸乃初末二日之中数为第七日所织之数以第七日上计初日下计末日俱得六分于是以六分与日加六寸相乗得三十六寸乃以三十六寸于第七日之一百零四寸内减之得六十八寸即初日所织之数于第七日之一百零四寸上加之得一百四十寸即末日所织之数也此法虽求初末两日之数然以十三日与总织数之比即一日与初末两日中数之比既得中数按分加之何所不得此又递次加减法中之又一例也
设如有田七百二十亩令甲乙丙三戸依次递减分耕问各该几何
法以三分为甲衰数二分为乙衰数一分为丙衰数相并得六分为一率总田七百二十亩为二率一分为三率推得四率一百二十亩为一分即丙所耕之数以二分因之得二百四十亩即乙所耕之数以三分因之得三百六十亩即甲所耕之数也此法并总衰分为一率总田数为二率者是将总衰分比总田数故六分得七百二十亩而一分得一百二十亩也六分中甲得三分乙得二分丙得一分自甲递次至乙至丙皆减一百二十亩故为递减也凡命法中不定所减分数者即以此法为例
设如有银九十二两令伯仲叔季四人递减分之问各得几何
法以四分为伯衰数三分为仲衰数二分为叔衰数一分为季衰数相并得十分为一率总银九十二两为二率一分为三率推得四率九两二钱即季所得之数以二分因之得一十八两四钱即叔所得之数以三分因之得二十七两六钱即仲所得之数以四分因之得三十六两八钱即伯所得之数也此法以十分比总银即如总银分为十分也是以十分中伯得四分仲得三分叔得二分季得一分自伯递次至季皆减一分故谓之递减差分也
设如有金一十二两六钱欲挨次递减造套杯六个问各重若干
法以六五四三二一为六杯衰分并之得二十一分为一率共金数一十二两六钱为二率一分为三率推得四率六钱即第六杯之重以二分因之得一两二钱即第五杯之重以三分因之得一两八钱即第四杯之重以四分因之得二两四钱即第三杯之重以五分因之得三两即第二杯之重以六分因之得三两六钱即第一杯之重也此法以总分比总银即如以一分比末一杯之重也以上递加一分即各杯之重矣
设如有粮一千一百三十四石令五等戸递减纳之一等二十四戸二等三十三户三等四十二戸四等五十一户五等六十户问各等每戸应纳若干法以五四三二一为五等衰分以五分因一等户二十四得一百二十分以四分因二等戸三十三得一百三十二分以三分因三等户四十二得一百二十六分以二分因四等戸五十一得一百零二分以一分因五等户六十仍得六十分总并之得五百四十分为一率总粮一千一百三十四石为二率一分为三率推得四率二石一斗即五等每户所纳之数以二分因之得四石二斗即四等每户所纳之数以三分因之得六石三斗即三等每户所纳之数以四因之得八石四斗即二等每戸所纳之数以五因之得十石五斗即一等每戸所纳之数也
超位加减差分
设如甲丙丁三人买房一所共价八百一十两丙比甲出银加一倍丁比甲丙共出银又加一倍问每人各出几何
法以一分为甲衰数加一倍得二分为丙衰数又以甲一分丙二分相并为三分复加一倍得六分为丁衰数相并得九分为一率总银八百一十两为二率以甲一分为三率得四率九十两即甲所出银数加一倍得一百八十两即丙所出银数将甲丙共银复加一倍得五百四十两即丁所出银数也此法以一分为甲数加一倍为丙数者因丙比甲银多一倍也又共甲丙两数加一倍为丁数者因丁比甲丙共银又多一倍也故以所命各人分数相并得共分数以此共分数比共银数即如各人分数比各人所出银数也
设如有银五千两买马四匹园一区宅一所其园价比马价多三倍而宅价比园价又多四倍问各价几何
法以一分为马衰数加三倍【为三分】得四分为园衰数又将园四分加四倍【为十六分】得二十分为宅衰数相并得二十五分为一率总价五千两为二率马一分为三率推得四率二百两即马四匹之价【马每匹价五十两】加三分六百两得八百两即园一区之价再将园价加四分三千二百两得四千两即宅一所之价也此法将马为一分而加三分为园价者因园价比马价多三倍也又将园价为一分而加四分为宅价者因宅价比园价又多四倍也是以共分之比共价即如马四匹之一分比各色每一分之价也
设如有粮七百六十石以船三次运之第一次运十分二次运七分三次运二分问每次运粮几何法以十分七分二分相并得十九分为一率共粮七百六十石为二率十分为三率得四率四百石即第一次所运之数如以七分为三率得四率二百八十石即第二次所运之数如以二分为三率得四率八十石即第三次所运之数也此法第一次之十分二次之七分三次之二分即三次之衰数分数已明故即以运分作衰分也
设如有铜一百八十两依次递减造三等仪器上等比中等加二倍中等比下等加一倍问三等仪器各得铜几何
法以一分为下等衰数二分为中等衰数二分加二倍得六分为上等衰数并之得九分为一率共铜一百八十两为二率下等之一分为三率推得四率二十两即下等仪器之重加一倍得四十两即中等仪器之重又加二倍得一百二十两即上等仪器之重也此法命一分为下等数故加倍为中等数而得二分复以二分加二倍为上等数故上等数又为六分也
设如有银七十两买骆驼马驴各一匹而价之多少不等但知马比驼价为九分之四驴比驼价为九分之一问各价几何
法以一分为驴衰数四分为马衰数九分为驼衰数并之得十四分为一率银七十两为二率驴一分为三率推得四率五两即驴一匹之价以四分因之得二十两即马一匹之价以九分因之得四十五两即驼一匹之价此法因驼价为九分故即以九为衰数且两分母俱同为九分而马居九分之四故即以四为马分驴居九分之一故即以一为驴分也既得驴价取其四分即马价取其九分即驼价也
设如一人为商三次初次获利比原银多二倍二次获利比初次本利共银多四倍三次获利比二次本利共银又多三倍共计获利并原银得九百两问原银几何
法以一分为初商原银衰数加二倍得三分为初次本利共分又比三分加四倍得十五分为二次本利共分又比十五分加三倍得六十分为三次本利共分即以此六十分为一率三次本利共银九百两为二率一分为三率推得四率一十五两即原银数也此法初次加二倍是原银之外加二倍也又加四倍是比初次本利共银之外又加四倍也又加三倍是比二次本利共银之外又加三倍也故以总分比总银即如一分之比原银也
设如有米二十四石分与四人甲四分乙五分丙七分丁九分问各该几何
法以甲之四分乙之五分丙之七分丁之九分相并得二十五分为一率共米二十四石为二率一分为三率推得四率九斗六升乃每一分之数以甲四分因之即得甲之三石八斗四升以乙五分因之即得乙之四石八斗以丙七分因之即得丙之六石七斗二升以丁九分因之即得丁之八石六斗四升也此法以一分为三率故得每人一分之数如以各人分数各为三率即得各人之全分矣
设如有银九十二两赏二十人分上中下三等上等四人中等六人下等十人其中等比下等赏加一倍上等比中等赏加二倍问各等每人得赏几何法以一分为下等衰数乗下等十人得十分又将一分加一倍得二分为中等衰数乗中等六人得十二分又将二分加二倍得六分为上等衰数乗上等四人得二十四分乃以十分十二分二十四分相并得四十六分为一率总银九十二两为二率下等一分为三率推得四率二两即下等每人应得之数将二两加一倍得四两即中等每人应得之数将四两再加二倍得十二两即上等每人应得之数复以各等人数乗各等每人应得之数即得上等四人共得四十八两中等六人共得二十四两下等十人共得二十两也此法以下等一分为三率故得下等每人一分之数按分倍加而得中等上等如以各等众人分数各为三率即得各等之共数矣
设如有米五百三十五石赏与三等人第一等二十名第二等五十名第三等一百一十名一等比二等每名加七斗二等比三等每名加五斗问三等每名各得几何
法以二等比三等每名多五斗与二等五十名相乗得二百五十斗又以一等比二等每名多七斗与二等比三等每名多五斗相加得十二斗与一等二十名相乗得二百四十斗两数相并得四百九十斗乃于总米五百三十五石内减之余四百八十六石乃以一等二十人二等五十人三等一百一十人相并得一百八十人为一率四百八十六石为二率一人为三率推得四率二石七斗即三等毎一人应得之数加五斗得三石二斗即二等毎一人应得之数再加七斗得三石九斗即一等每一人应得之数也此法以二等比三等毎名多五斗与二等五十人相乗者是求二等比三等共多之数又以一等比二等毎名多七斗并二等比三等毎名多五斗与一等二十人相乗者是求一等比三等共多之数也既得一等二等共多于三等之数于总数内减之所余即三等相并共一百八十人均分之数故以一百八十人比总米四百八十六石即第三等每一人之比二石七斗也由此加五斗即得第二等每一人所得之数于第二等每一人数内再加七斗即得第一等每一人所得之数矣
互和折半差分
设如有米一百八十石令甲乙丙三人互和折半分之但知甲多丙三十六石问各该若干
法以三人为一率总米一百八十石为二率一人为三率推得四率六十石即乙应得之数次以甲多丙三十六石二分之毎分得一十八石于乙数内加之得七十八石即甲应得之数于乙数内减之得四十二石即丙应得之数也此法盖以三人共得之数比一人所得之数其一人所得之数即中一人应得之数甲多乙几何即乙多丙几何而甲多丙之数又为甲多乙之倍数故以甲多丙之数分为二分于中数内一加一减则彼此相较之数自得均平故谓之互和折半也
设如有银二百四十两令赵钱孙李四人互和折半分之但知赵多李一十八两问各该若干
法以四人为一率总银二百四十两为二率一人为三率推得四率六十两即钱孙中二人相和折半之数次取赵多李十八两之数以三归之【以三立法者用二归以四立法者用三归盖以之相比而得较也】得六两即四人递加之数折半得三两乃中二人相和折半数与中二人应得数之较以此三两加于六十两得六十三两即钱银数减于六十两余五十七两即孙银数钱银数内再加六两得六十九两即赵银数孙银数内再减六两余五十一两即李银数也此法盖以四人共得之数比一人应得之数其一人应得之数固非四人平分之数故比例所得六十两为钱孙二人之中数较之钱数少三两较之孙数多三两故于六十两中加三两即钱数减三两即孙数既得钱孙中二人数则首末二人只按分数加之而已
设如有兵二万三千八百令甲乙丙丁戊五将互和折半领之只云戊少甲三千三百六十问各将所领若干
法以五分为一率兵数二万三千八百为二率一分为三率推得四率四千七百六十即丙所领之数又取戊少甲之三千三千六十以四归之【此有五人而较为四故用四归也】得八百四十为平分加减之数自丙数而上递加之得五千六百即乙所领之数得六千四百四十即甲所领之数由丙数而下递减之得三千九百二十即丁所领之数得三千零八十即戊所领之数也
设如有稻一百九十八亩令甲乙丙丁戊己六人收割但知甲比己多收三十亩问各该收稻几何法以六人为一率总田一百九十八亩为二率一人为三率推得四率三十三亩即丙丁中二人相和折半之数次取甲多己三十亩以五归之得六亩折半得三亩加于三十三亩得三十六亩即丙收数再加六亩得四十二亩即乙收数再加六亩得四十八亩即甲收数又以折半三亩减于三十三亩余三十亩即丁收数再减六亩余二十四亩即戊收数再减六亩余十八亩即己收数此法因三十三亩为丙丁二人之中数较之丙少三亩较之丁多三亩故以丙与丁总差六亩折半加减之即得也
首尾互准差分
设如甲乙丙丁四人递次分银但知甲得六十九两丁得五十一两问乙丙各得银几何
法以三分为甲多于丁之衰数【有四人故用三分如或五人则用四分六人则用五分】为一率甲六十九两与丁五十一两相减余一十八两为二率一分为三率推得四率六两即四人所得递加之数将丁银五十一两加六两得五十七两即丙应得之数再加六两得六十三两即乙应得之数也盖甲数最多丁数最少相差一十八两由丁至丙至乙至甲相隔三位则知有三差故用三分比一十八两即如一分比六两而为递加数也若三色者以首尾两数相加折半即中数其法易求故不设例
设如五人递次络丝第一人络丝四十两第五人络丝二十四两问中三人各络丝几何
法以四分为第一人多于第五人之衰数为一率第一第五两数相减余一十六两为二率一分为三率推得四率四两即五人络丝递加之数将第五人络丝二十四两加四两得二十八两即第四人所络之数再加四两得三十二两即第三人所络之数再加四两得三十六两即第二人所络之数也此法用四为除法葢第五与第一相隔四位则知有四差故用四为比例也
又捷法以第一第五两数相加折半得三十二两即第三人所络之数又以第一第三两数相加折半得三十六两即第二人所络之数复以第三第五两数相加折半得二十八两即第四人所络之数此法即前互和折半之法凡位数竒者俱可用如三五七九是也
设如七人运粮不言总数但知第一人第二人共运二十三石七斗第五人第六人第七人共运二十六石一斗其递加之数俱相等问第三人第四人与前后五人各运几何
法以第一第二两人共运二十三石七斗折半得十一石八斗五升为第一第二两人相和折半之数第五第六第七三人共运二十六石一斗三归之得八石七斗即第六人应运之数乃以第一分第二分之中数一分半与第六分相减余四分半为一率第一第二两人相和折半之十一石八斗五升内减第六人之八石七斗余三石一斗五升为二率一分为三率推得四率七斗即每人递加之数由第六人八石七斗而下减七斗得八石即第七人应运之数由第六人八石七斗而上递加七斗得九石四斗即第五人应运之数得十石一斗即第四人应运之数得十石八斗即第三人应运之数得十一石五斗即第二人应运之数得十二石二斗即第一人应运之数也此法盖因第一人第二人相和折半之数至第二人差半分至第三人差一分半至第四人差二分半至第五人差三分半至第六人则差四分半故先以第一第二之中数与第六相减得其四分半之差数而以四分半比前二人相和折半多于第六人之六石三斗即如一分比每人递加之七斗也
设如八人分银不言总数但知第一第二第三三人共得四十五两第七第八二人共得八十五两其递加之数俱相等问各人应得若干
法以前三人共得银数四十五两用三归之得十五两即第二人应得之数后二人共得八十五两折半得四十二两五钱即第七第八两人相和折半之数乃以第二分与第七分第八分之中数七分半相减余五分半为一率第二人应得之十五两与后二人相和折半之四十二两五钱相减余二十七两五钱为二率一分为三率推得四率五两即每人递加之数于第二人十五两内减五两即得第一人十两于第二人十五两外递加五两即得第三人二十两第四人二十五两第五人三十两第六人三十五两第七人四十两第八人四十五两之数也此法葢因第二人至第三人差一分至第四人差二分至第五人差三分至第六人差四分至第七人差五分至第七第八两人相和折半之数则差五分半故先以第二与第七第八之中数相减得其五分半之差数而以五分半比后二人相和折半多于第二人之数即如每一分比每人递加之数也
设如八人分米不言总数但知第一第二两人共得一十一石九斗第七第八两人共得八石三斗其递加之数俱相等问每人应得若干
法以第一第二两人共数一十一石九斗折半得五石九斗五升即第一第二两人相和折半之数再以第七第八两人共数八石三斗折半得四石一斗五升即第七第八两人相和折半之数乃以第一分第二分之中数一分半与第七分第八分之中数七分半相减余六分为一率第一第二两人相和折半之五石九斗五升内减第七第八两人相和折半之四石一斗五升余一石八斗为二率一分为三率推得四率三斗即每人递加之数折半得一斗五升加于第一第二两人相和折半之五石九斗五升得六石一斗即第一人之数以次递减三斗即得第二人五石八斗第三人五石五斗第四人五石二斗第五人四石九斗第六人四石六斗第七人四石三斗第八人四石之数也此法盖因第一第二两人相和折半之数至第二人差半分至第三人差一分半至第四人差二分半至第五人差三分半至第六人差四分半至第七人差五分半至第七第八两人相和折半之数则差六分故先以第一第二之中数与第七第八之中数相减得其六分之差数而以六分比第一第二相和折半多于第七第八相和折半之数即如每一分比每人递加之数也又以第一第二之中数比第一人差半分故以一分之三斗折半得一斗五升加于第一第二两人相和折半之数即得第一人之数也
设如有竹九节截为九筩盛米递次长短不均但知根底三节共盛米三升九合梢上四节共盛米三升问九节各盛米数几何
法以根底第一第二第三三节共盛米三升九合用三归之得一升三合即第二节盛米之数梢上第六第七第八第九四节共盛米三升用四归之得七合五勺即第七第八两节相和折半之数乃以第二分与第七分第八分之中数七分半相减余五分半为一率第二节盛米一升三合内减第七第八两节相和折半之七合五勺余五合五勺为二率一分为三率推得四率一合即每节递加之数自第二节盛米一升三合而上加一合即得第一节盛米一升四合自第二节盛米一升三合而下递减一合即得第三节盛一升二合第四节盛一升一合第五节盛一升第六节盛九合第七节盛八合第八节盛七合第九节盛六合也
设如有竹九节截为九筩盛米但知根底二节盛米六升三合梢上二节盛米二升一合问各节所盛米数若干
法以根底二节共盛米六升三合折半得三升一合五勺为第一第二两节相和折半之数梢上二节共盛米二升一合折半得一升零五勺为第八第九两节相和折半之数乃以第一分第二分之中数一分半与第八分第九分之中数八分半相减余七分为一率第一第二两节相和折半之三升一合五勺内减第八第九两节相和折半之一升零五勺余二升一合为二率一分为三率推得四率三合即毎节递加之数折半得一合五勺加于第一第二两节相和折半之三升一合五勺得三升三合即第一节盛米之数以次递减三合即得第二节盛三升第三节盛二升七合第四节盛二升四合第五节盛二升一合第六节盛一升八合第七节盛一升五合第八节盛一升二合第九节盛九合也
设如十人按数挨次纳粮前三人共纳一十三石八斗后四人共纳一十三石二斗问十人各纳粮数若干
法以前三人共纳一十三石八斗用三归之得四石六斗为第二人所纳之数后四人共纳一十三石二斗用四归之得三石三斗为第八第九两人相和折半之数乃以第二分与第八分第九分之中数八分半相减余六分半为一率第二人之四石六斗内减第八第九两人相和折半之三石三斗余一石三斗为二率一分为三率推得四率二斗即每人递加之数自第二人四石六斗以上加二斗得四石八斗即第一人所纳之数自第二人四石六斗以下递减二斗得四石四斗即第三人所纳之数得四石二斗即第四人所纳之数得四石即第五人所纳之数得三石八斗即第六人所纳之数得三石六斗即第七人所纳之数得三石四斗即第八人所纳之数得三石二斗即第九人所纳之数得三石即第十人所纳之数也
设如有米二百四十石令甲乙丙丁戊五人递减纳之定甲乙二人纳数与丙丁戊三人纳数相等问五人各纳几何
法以四分为甲多于戊之衰数【自甲至乙至丙至丁至戊隔四位故以四分为衰数】三分为乙多于戊之衰数并之为七分以二分为丙多于戊之衰数一分为丁多于戊之衰数并之为三分乃以三分与七分相减余四分为前二人多于后三人之较又以前二人与后三人相减余一人为后三人多于前二人之较夫前多四分后多一人而其数相等则四分即为一人之数乃以一人为一率四分为二率戊一人为三率推得四率仍得四分即定为戊一人之分数各加毎人所多衰数则甲得八分乙得七分并之得十五分丙得六分丁得五分并戊之四分亦得十五分是前后分数已同矣乃以两总分相并得三十分为一率总米二百四十石为二率一分为三率推得四率八石即每一分之数用甲之八分乗之得甲之六十四石用乙之七分乘之得乙之五十六石并之共得一百二十石用丙之六分乗之得丙之四十八石用丁之五分乗之得丁之四十石用戊之四分乗之得戊之三十二石并之亦共得一百二十石是甲乙二人纳数与丙丁戊三人纳数等也
设如有银六百两令甲乙丙丁戊己六人递加分之定甲乙丙丁四人与戊己二人分数相等问六人各分几何
法以一分为乙多于甲之衰数二分为丙多于甲之衰数三分为丁多于甲之衰数并之为六分四分为戊多于甲之衰数五分为己多于甲之衰数并之为九分乃以六分与九分相减余三分为后二人多于前四人之较又以前四人与后二人相减余二人为前四人多于后二人之较夫前多二人后多三分而其数相等则三分即为二人之数乃以二人为一率三分为二率甲一人为三率推得四率一分五【即一分半也】即定为甲一人之分数各加每人所多衰数则乙得二分半丙得三分半丁得四分半并甲乙丙丁四人数得十二分戊得五分半己得六分半并戊己二人数亦得十二分是前后分数已同矣乃以两总分相并得二十四分为一率总银六百两为二率一分为三率推得四率二十五两即每一分之数用甲一分半乗之得甲三十七两五钱用乙二分半乗之得乙六十二两五钱用丙三分半乗之得丙八十七两五钱用丁四分半乗之得丁一百一十二两五钱并四人数共得三百两用戊五分半乗之得戊一百三十七两五钱用己六分半乗之得己一百六十二两五钱并二人数亦共得三百两是甲乙丙丁四人银数与戊己二人银数等也
设如有麦一千零八亩令七人递减分收定前三人与后四人所得共数相同问七人各收麦几何法以六分为第一人比第七人所多衰数【自第一至第七隔六位故以六为衰数】五分为第二人比第七人所多衰数四分为第三人比第七人所多衰数并之为十五分三分为第四人比第七人所多衰数二分为第五人比第七人所多衰数一分为第六人比第七人所多衰数并之为六分乃以六分与十五分相减余九分为前三人多于后四人之较又以前三人与后四人相减余一人为后四人多于前三人之较夫前多九分后多一人而其数相等则九分即为一人之数乃以一人为一率九分为二率末一人为三率推得四率仍为九分即定为第七人之分数各加每人所多分数则第一人得十五分第二人得十四分第三人得十三分并之为四十二分第四人得十二分第五人得十一分第六人得十分第七人得九分并之亦为四十二分是前后分数已同矣乃以两总分相并得八十四分为一率麦一千零八亩为二率一分为三率推得四率十二亩即毎一分之数用十五分乗之即得第一人一百八十亩用十四分乗之即得第二人一百六十八亩用十三分乗之即得第三人一百五十六亩并三人数共得五百零四亩用十二分乗之即得第四人一百四十四亩用十一分乗之即得第五人一百三十二亩用十分乗之即得第六人一百二十亩用九分乗之即得第七人一百零八亩并四人数亦共得五百零四亩是前三人亩数与后四人亩数等也
设如有粮一千零九十二石令七次递减运送定前二次与后五次运送之数相等问每次运送几何法以十八分为第一次比第七次所多之衰数【自第一次至第七次相隔六位应以六分为衰数是为每次递加一分今将六分用三因之为十八分是为每一次递加三分故各衰五四三二一俱用三因其比例仍同也】十五分为第二次比第七次所多之衰数并之为三十三分十二分为第三次比第七次所多之衰数九分为第四次比第七次所多之衰数六分为第五次比第七次所多之衰数三分为第六次比第七次所多之衰数并之爲三十分乃以三十分与三十三分相减余三分为前两次多于后五次之较又以后五次与前两次相减余三次为后五次多于前两次之较夫前多三分后多三次而其数相等则三分即为三次之数乃以三次为一率三分为二率一次为三率推得四率一分即为第七次之分数各加每次所多衰数第一次得十九分第二次得十六分并之得三十五分第三次得十三分第四次得一十分第五次得七分第六次得四分并第七次之一分亦得三十五分是前后分数已同矣乃以两总分相并得七十分为一率总粮一千零九十二石为二率一分为三率推得四率一十五石六斗即第七次一分所运之数用十九分乗之得二百九十六石四斗即第一次所运之数用十六分乗之得二百四十九石六斗即第二次所运之数并两次共得五百四十六石用十三分乗之得二百零二石八斗即第三次所运之数用一十分乗之得一百五十六石即第四次所运之数用七分乗之得一百零九石二斗即第五次所运之数用四分乘之得六十二石四斗即第六次所运之数并第七次所运之一十五石六斗亦共得五百四十六石是前二次运送粮数与后五次运送粮数等也
御制数理精蕴下编卷五