大衍说
天一、地二、天三、地四、天五、地六、天七、地八、天九、地十，列级堆垜，积五十有五。令诸数皆平方，于末层十之下际，距角作一横线，两角各作斜线，上引相遇于首层一之顶，则堆垜截爲圭形，其广十，正从亦十，以半广乘正从，得五十。此大衍之数所由生。
衍，古字多爲羡，《周官》有璧羡，又称以其馀爲羡。今以圭外数减堆垜数，馀五十，故曰大羡五十，不可再减已。然以列数乘方求差，则五十必穷，而四十九不穷。是何也？五十之半爲二十五，折半则中閒必空。自四十九逆数至一，其分脊之位亦值二十五，则二十五得爲中数。取二十五之前一数自乘，与后一数自乘，其差一百。递前后各二、三、四、五数自乘，其差亦递爲二百、三百、四百、五百。至前后各二十四数自乘，其差则爲二千四百。唯后二十五数值五十，前二十五数值无，以五十自乘求与之相较而差二千五百者，唯无之自乘耳。五十无对，则其用自穷。虽然，五十不可揜也，取二十五递前后诸数相并，无不爲五十者，唯五十无可与并，是以五十不自用，而用四十九也。非徒五十不自用，二十五亦不自用也。有二十五前后列数，故分爲二以象两。二十五不自乘，故挂一以象三欤？〈今作矩广袤各二十五，并之爲五十，其实矩祇四十九尔。则二十五独爲隅，而广袤各二十四者爲两廉矣，此亦其义。〉
二十五递前后各数自乘相差表
二十四自乘五百七十六。二十六自乘六百七十六。〈相差一百。〉
二十三自乘五百二十九。二十七自乘七百二十九。〈相差二百。〉
二十二自乘四百八十四。二十八自乘七百八十四。〈相差三百。〉
二十一自乘四百四十一。二十九自乘八百四十一。〈相差四百。〉
二十自乘四百。三十自乘九百。〈相差五百。〉
十九自乘三百六十一。 三十一自乘九百六十一。〈相差六百。〉
十八自乘三百二十四。 三十二自乘一千零二十四。〈相差七百。〉
十七自乘二百八十九。 三十三自乘一千零八十九。〈相差八百。〉
十六自乘二百五十六。 三十四自乘一千一百五十六。〈相差九百。〉
十五自乘二百二十五。 三十五自乘一千二百二十五。〈相差一千。〉
十四自乘一百九十六。 三十六自乘一千二百九十六。〈相差一千一百。〉
十三自乘一百六十九。 三十七自乘一千三百六十九。〈相差一千二百。〉
十二自乘一百四十四。 三十八自乘一千四百四十四。〈相差一千三百。〉
十一自乘一百二十一。 三十九自乘一千五百二十一。〈相差一千四百。〉
十自乘一百。 四十自乘一千六百。〈相差一千五百。〉
九自乘八十一。四十一自乘一千六百八十一。〈相差一千六百。〉
八自乘六十四。四十二自乘一千七百六十四。〈相差一千七百。〉
七自乘四十九。四十三自乘一千八百四十九。〈相差一千八百。〉
六自乘三十六。四十四自乘一千九百三十六。〈相差一千九百。〉
五自乘二十五。四十五自乘二千零二十五。〈相差二千。〉
四自乘一十六。四十六自乘二千一百一十六。〈相差二千一百。〉
三自乘九。四十七自乘二千二百零九。〈相差二千二百。〉
二自乘四。四十八自乘二千三百零四。〈相差二千三百。〉
一自乘一。四十九自乘二千四百零一。〈相差二千四百。〉
无自乘无。五十自乘二千五百。〈相差二千五百。〉
今絫取三数，则前后两数自乘之差，必爲中閒一数之四倍，絫取五数，则递前递后两数自乘之差，必爲中间一数之八倍，馀可类推也。然则絫而成奇者得有中数，絫而成耦者无是，是故五十不可用，而四十九可用。他数絫以成奇者，取其中位，则前后自乘之数悉有衰次。然唯以二十五爲中位者，前后相差，自一百、二百以至二千四百，皆整齐明画，不假筹策而知。是故四十九而下，一切絫成奇者，亦不用。独四十九便于用。
近代説大衍之数者二家:一、孔广森，谓大衍之数爲句股术，五十即句股弦三幂相和之数，四十九即句股和自乘之数，虚一不用，即句股较股弦较之数。然五十之数出于无因，且句股术者，但以句股两幂相和，开方适尽，则弦亦适尽。有句五、股十二、弦十三者，有句八、股十五、弦十七者，有句二十、股二十一、弦二十九者，有句九、股四十、弦四十一者，非定以句三、股四、弦五爲率也。二、焦循，谓衍即旁广，训诂亦近矣。而取秦九韶一、二、三、四互乘之説。然按其数，一乘二爲二，二乘三爲六，三乘四爲十二，四乘一爲四，四乘二爲八，则不足五十。而又阙三乘一之数，别出六乘四爲二十四，一乘十二爲十二，是即絫乘非互乘，其説亦支离矣。若昔儒京、马、荀、郑、虞、姚、王、崔之説，穿凿损补，弥不可依，故今别造新义，较之诸家，盖近自然也。
问曰：天地之数五十有五，所以成变化而行鬼神，其义可得闻乎？曰：行鬼神则吾不知，成变化乃可知矣。一加二爲三，三之平方九，中圅一、二诸立方。一、二加三爲六，六之平方三十六，中圅一、二、三诸立方。一、二、三加四爲十，十之平方一百，中圅一、二、三、四诸立方。一、二、三、四加五爲十五，十五之平方二百二十五，中圅一、二、三、四、五诸立方。一、二、三、四、五加六爲二十一，二十一之平方四百四十一，中圅一、二、三、四、五、六诸立方。一、二、三、四、五、六加七爲二十八，二十八之平方七百八十四，中圅一、二、三、四、五、六、七诸立方。一、二、三、四、五、六、七加八爲三十六，三十六之平方一千二百九十六，中圅一、二、三、四、五、六、七、八诸立方。一、二、三、四、五、六、七、八加九爲四十五，四十五之平方二千零二十五，中圅一、二、三、四、五、六、七、八、九诸立方。一、二、三、四、五、六、七、八、九加十爲五十五，五十五之平方三千零二十五，中圅一、二、三、四、五、六、七、八、九、十诸立方。率絫加至某数，以其积乘方，即圅加数之立方，自是以往，靡不准是。夫以堆垜数自乘爲平方，而平方即中圅立方，斯岂非变化之至者乎！知少广之术，可以开立方；知斯术也，可以开立方丛矣。〈又天数二十五，开平方得五。地数三十，开较一从方得袤六广五。凡奇数相絫者，开平方即絫次。耦数相絫者，开较一从方，其广即絫次。明《易》义兼堆垜、开方二术。
极数定象答问
问曰：《易•繫》称:参五以变，错综其数，通其变遂成天下之文，极其数遂定天下之象。极数者何数，定象者何象邪？荅曰：既言参五，则必以三、五爲法矣。夫蓍之德圆，卦之德方。圆方，象也。数不极则象亦无以定。大衍之数五十，其用四十有九，此蓍数也。置四十九倍五十以乘之，又以四十九开方，以挂一减四十九乘之，两数相并，得五千二百三十六爲实，乃以三乘之，五除之，得三千一百四十一六，是爲圆径一千之周。其一术曰：置四十九开方，以挂一减四十九乘之，次以挂一加五十乘之，次以天地之数五十五乘之，得九十四万二千四百八十爲实，乃以三除之，得三十一万四千一百六十，是爲圆径十万之周。其一术曰：置四十九自乘，以挂一减之，以四十九开方乘之，次以挂一加五十乘之，次以天地之数五十五乘之，得四千七百十二万四千爲实，乃以三五递除之，得三百十四万一千六百，是爲圆径百万之周。是故三一四一六者，圆径一之周也。以五再乘其周，退二位得零七八五四者，圆径一之幂也。以倍三除其周，得零五二三六者，立圆径一之积也。乘除所得，数也。平圆立圆，象也。径午贯之，周外规之，文也。如是者爲极其数以定圆，六十四云、八云，此卦数也。以八自乘，则六十四爲平方。以四再自乘，则六十四爲立方。以二再自乘，则八爲立方。故一卦未有不爲立方者也。今以三乘五，以五乘三，各得十五，相和爲三之进位，以五除三之进位，得六，六鼈臑成一立方也。以三之进位除五，得零一六六不尽，一鼈臑之数也。鼈臑者，今日三角锥。邪解立方爲两堑堵，故立方一，则堑堵零五。邪解堑堵爲一阳马、一鼈臑，阳马于堑堵三之二，于立方三之一。鼈臑于堑堵三之一，于立方六之一。故立方一，则鼈臑零一六六不尽也。是故爻即鼈臑，三画之卦即堑堵，六画之卦即立方。一立方者，六鼈臑，故一卦得六爻。六十四立方者，三百八十四鼈臑，故六十四卦得三百八十四爻。爻之爲文，《説文》以爲象《易》六爻头交，今试邪解立方成两堑堵，此两堑堵者，一从右方上端邪解至左方下端，成一阳马、一鼈臑；一从左方下端邪解至右方上端，亦成一阳马、一鼈臑。以此复合爲立方，则两鼈臑之大弦必午贯相交焉，此爲六爻头交。和与乘除所得，数也。鼈臑立方，象也。大弦午贯，文也。且令六十四爲平方，三五和，即其边矣。三五相乘，即其两廉一隅矣。令六十四爲立方，三五较，以馀自乘，即其边矣。三自乘，即其平廉矣。五自倍，即其三长廉一隅矣。和较乘倍所得，数也。平方立方，象也。廉隅与方华离，文也。如是者爲极其数以定方，极之定之，未有不以三五裁制者，苟充其例，以平面方圆相圅三重，得外方圆幂而求内方圆幂，必以五退位再乘之。以立体方圆相圅三重，得外方圆积而求内方圆积，必以三、三除之。〈以三、三除，即二十七除。〉至哉，参五之法，可与探幽洞微矣。
问曰:六十四者，平方立方之幂积皆有之，今上经三十卦，下经三十四卦，其数不均，何也？荅曰：以三乘五、五乘三相和，是上经三十卦也。以三五各自乘相和，是下经三十四卦也。是参五之至变也。
问曰:卦见方数，蓍不见圆数，何也？荅曰：夫圆周四一三一六者，二八、二八、五六、五六连琐之所成尔。此四数约之皆七也。而四十九约之亦七也。置四十九，以四千四百八十八乘之，则爲圆周者七矣。然四十九不自圆，待与他数相乘而后圆，是以必错综之也。〈若用约率四十九开方，即圆径天地之数五十五。以二五除之，即圆周。四十九开方，以五十五退位乘之，即圆幂。四十九即同径之方幂。四十九开方，以乘四十九，即立方积。以十五除五十五，以乘四十九，即同径之立圆积。是亦待错综也。〉曰:今所据圆率者，刘徽密率也。于祖氏密率犹微赢，岂数有未极乎？曰：求祖氏率者，以三五递乘四十九，得七三五，就圆周末位，閒一位减之，即爲三一四一五九二六五矣。祖氏圆率亦以七约其数也。〈以四四八八乘七，即刘氏圆周。以四四八七九八九五乘七，即祖氏圆周。〉虽然，圆率未有至密者也。推圆周者，其位至于钜万而无穷，无穷则不可以定象，故知《易》之所论圆率，以三一四一六爲极。
附録
一百九十二觚割圆之术，盖亦不始刘徽。太史《酷吏传》云:破觚而爲圆。既引以爲喻，必曾有其事矣。〈《九章》径一周三之率，在《方田篇》。度田但取大齐，故不用割圆所得之率。〉虽然，觚直而弧曲，虽絫析至千万觚，与圆周差至极微，终不可以爲眞圆。若如是求之，爲功愈勤，其愚转甚矣。孔子曰：觚不觚，觚哉觚哉！盖古觞器皆同形，其爲觚也，不以六觚八觚爲式，析觚愈多，视之成圆，其实百千觚相櫕尔。〈旧説皆误，陈祥道直以觚爲八觚，由未知觞器皆圆，觚愈分析，合之转近圆也。〉刘徽谓觚之细者，与圆合体，是亦言其大齐则然。故屡析六觚，至一百九十二觚之幂，即以消息增加爲三一四一六，以是爲圆径二之幂，即爲圆径一之周，盖不欲竟以积觚爲圆也。徽尚欲求一千五百三十六觚之一面，得三千七十二觚之幂，裁其微分。裁其微分云者，亦不欲竟以积觚爲圆也。虽然，展转析觚，其数无穷，于圆终不能满，知其不满而增周泰过，即有刘歆、王蕃之侈。不增则促，故祖冲之特开盈朒二限以相磑